Escola Secundária/2,3 da Sé-Lamego

Proposta de Resolução da Prova Escrita de Matemática A

1.ª Parte

 

 

2.ª Parte

1.  

a)  
No triângulo rectângulo [MOV], tem-se: .
Obtém-se, assim, .
A área do triângulo [STV] é dada por: .
Logo, , ( ).

b)  
Como , então .
Para este valor de , a área total da pirâmide é:
.

c)  
Como a área da base é 4, então o problema pode ser traduzido pela condição .
Representadas graficamente as funções  e , no intervalo , determinou-se a abcissa do ponto P, ponto de intersecção dos seus gráficos.

Portanto, a área total da pirâmide é tripla da área da base para  radianos.

d1)  
Uma recta é perpendicular a um plano se for perpendicular a duas rectas concorrentes desse plano. Portanto, uma recta é perpendicular a um plano se um vector director da recta for perpendicular as dois vectores não colineares do plano.

Ora, como ,  e , então  e  são dois vectores não colineares do plano STV.

Vejamos se o vector , um vector director da recta s, é perpendicular aos vectores  e , isto é, se :

 e
.

Como  , então a recta s é perpendicular ao plano STV.

Designado por  um ponto genérico do plano STV, tem-se .
Como , a equação  é uma equação cartesiana do plano STV.

d2)  
Se o ponto P pertence a superfície esférica E, então as suas coordenadas têm de verificar a condição , com . Ora:

Portanto, .

d3)  
O lugar geométrico definido é a superfície esférica E (considerada na alínea anterior), de raio 2 e centro no ponto médio de [OV], ponto de coordenadas . Pois, com efeito, tem-se:

2.  

a)  
Ora, , pois  e .

b1)  
Como , então o declive da recta pedida é , pelo que a sua equação reduzida é da forma .
Como o ponto  é um ponto desta recta, temos .

Logo,  é a equação reduzida da recta pedida.
Alternativa:
Como , então o vector  é um vector director da recta AB.
Designado por  um ponto genérico da recta pedida, tem-se: .
Como , então a equação reduzida da recta pedida é .

b2)  
Como vimos na alínea anterior,  é um vector director da recta AB.
Um vector director da recta r é o vector .
Ora, .
Logo, sendo , o ângulo das duas rectas tem de amplitude .

3.  

A) 
Ora, . Logo, .
Assim, a área do sector circular considerado é a sexta parte da área do círculo, ou seja, .

B) 


O sistema é possível e determinado; o conjunto-solução é .

 

FIM