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Escola Secundária/3 da Sé-Lamego Prova Escrita de Matemática 10/05/2004 Turmas A e B - Prova 1 11.º Ano
1.ª Parte Para cada uma das seguintes 5 questões de escolha múltipla, seleccione a resposta correcta de entre as alternativas que lhe são apresentadas e escreva na sua folha de respostas a letra que lhe corresponde. Atenção! Se apresentar mais do que uma resposta a questão será anulada, o mesmo acontecendo em caso de resposta ambígua. Cotação: cada resposta certa, +9 pontos; cada resposta errada, -3 pontos; questão não respondida ou anulada, 0 pontos. 1. De duas funções f e g, de
domínio [0, 1], sabe-se que . [A] 2. Um reservatório cheio
de água começa a ser esvaziado às 12 horas de um certo dia. Admita que a altura
da água no reservatório, t horas após este ter começado a ser esvaziado, é dada
por . [A] 16 horas [B] 18 horas [C] 20 horas [D] 22 horas
3. Na figura estão representados os seis primeiros termos de uma sucessão ( ). Qual das seguintes afirmações pode ser verdadeira? [A] ( ) é limitada [B] ( ) tem termo geral [C] ( ) é monótona [D] ( ) pode ser definida por
4. No referencial ortonormado da figura está representada uma elipse de vértices nos pontos de coordenadas: , , e . Qual das seguintes afirmações é verdadeira? [A] é uma equação da elipse [B] Os focos são: e [C] é uma equação da elipse [D] Os focos são: e 5. Considere, num referencial o. n. xOy,
um ponto P, distinto da origem e pertencente à recta de equação . [A] [B] [C] [D] 2.ª Parte Nas questões seguintes, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e as justificações que entender necessárias.
1. Duas povoações, A e B, distanciadas 8 km uma da outra, estão a igual distância de uma fonte de abastecimento de água, localizada em F. Pretende-se construir uma canalização ligando a fonte às duas povoações, como se indica na figura ao lado. A canalização é formada por três canos: um que vai da fonte F até um ponto P e dois que partem de P, um para A e outro para B. O ponto P está a igual distância de A e de B. Tem-se ainda que: · o ponto M, ponto médio de [AB], dista 4 km de F · x é a distância entre P e M (em quilómetros) a) Tomando para unidade o quilómetro, mostre que o comprimento total da canalização é dado por , com b) Determine o(s) valor(es) de x para o(s) qual(is) é de 11 quilómetros o comprimento total da canalização. c) Recorrendo à sua calculadora, determine o
valor de x (aproximação ao metro) para o qual o comprimento total da
canalização é mínimo.
2. Sejam f e g duas funções reais, tais que: · , sendo · g é a função quadrática representada graficamente na figura junta · a recta r passa na origem do referencial e é tangente ao gráfico de g no ponto de coordenadas · No ponto , a recta tangente ao gráfico de g é horizontal
NOTA: Poderá ser útil ter presente a interpretação geométrica da derivada de uma função num ponto. a) Calcule e . b) Justifique que g não admite função inversa. Caracterize a inversa de h, restrição de g a , sabendo que c) Estude o sinal da função f’ (derivada de f) e conclua sobre os intervalos de monotonia de f. d) Mostre que existem duas rectas tangentes ao gráfico de f que são perpendiculares à recta r.
3. Considere, num referencial o. n. Oxyz, um cilindro de revolução como o representado na figura junta: · A base inferior do cilindro tem centro na origem O do referencial e está contida no plano xOy; · [BC]
é um diâmetro da base inferior, contido no eixo Oy. · O ponto A pertence à circunferência que limita a base inferior do cilindro e tem coordenadas ; · A recta r passa no ponto B e é paralela ao eixo Oz; · O ponto D pertence à recta r e à circunferência que limita a base superior do cilindro.
a) Considere o lugar geométrico dos pontos , tais que . Identifique esse lugar geométrico e caracterize-o através de uma equação cartesiana. b) Justifique que é um vector perpendicular ao plano ABD. c) Designando por a a amplitude, em radianos, do ângulo BOD: c1) mostre que o volume da pirâmide [ABCD] é dado por , com ; c2) determine o valor de a para o qual o volume da pirâmide [ABCD] é . 4. Considere a sucessão ( ), assim definida: . a) Prove que a sucessão é monótona. b) A sucessão é limitada? Justifique. NOTA: Poderá ser útil considerar que .
FIM
Formulário
COTAÇÕES 1.ª Parte ................................................................................................................................................................................ 45 pontos
Cada resposta certa ........................................................ +9 pontos Cada resposta errada ...................................................... -3 pontos Cada questão não respondida ou anulada................... 0 pontos Um total inferior a zero na 1.ª Parte vale 0 pontos.
2.ª Parte .............................................................................................................................................................................. 155 pontos 1. ....................................................................................................................................................... 35 pontos a) 10 b) 15 c) 10 2. ....................................................................................................................................................... 47 pontos a) 8 b) 14 c) 12 d) 13 3. ....................................................................................................................................................... 48 pontos a) 10 b) 14 c1) 12 c2) 12 4. ....................................................................................................................................................... 25 pontos a) 13 b) 12 Total 200 pontos |
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[C] 
[D] 
