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Escola Secundária/3 da Sé-Lamego Prova Escrita de Matemática 26/01/2004 Turmas A e B - Prova 2 11.º Ano
1.ª Parte Para cada uma das seguintes 5 questões de escolha múltipla, seleccione a resposta correcta de entre as alternativas que lhe são apresentadas e escreva na sua folha de respostas a letra que lhe corresponde. Atenção! Se apresentar mais do que uma resposta a questão será anulada, o mesmo acontecendo em caso de resposta ambígua. Cotação: cada resposta certa, +9 pontos; cada resposta errada, -3 pontos; questão não respondida ou anulada, 0 pontos.
1. Na figura
estão representadas graficamente duas funções: f e g. [A] [C]
2. Num referencial o. n. Oxyz, considere a superfície esférica de equação . Um ponto P desloca-se sobre o
diâmetro que está contido no eixo Oz. Seja f a função que faz corresponder, à cota c do ponto P, o volume V do referido cone. Qual dos seguintes gráficos pode ser o da função f? [A]
3. Na figura junta está representado o círculo
trigonométrico e um rectângulo [ABCD]. Seja a a amplitude do ângulo BOC. A área do rectângulo [ABCD] é igual a [A] [B] [C] [D] 4. O conjunto de pontos P (x, y) do plano que verificam a condição , sendo A (0, 2) e B (-2, 4), é: [A] a mediatriz de [AB]. [B] a recta tangente à circunferência de centro em A, no seu ponto B. [C] a recta que contém A e é perpendicular a [AB]. [D] a circunferência de diâmetro [AB]. 5. A representação do plano a: no primeiro octante de um referencial ortonormado é: [A] 2.ª Parte Nas questões seguintes, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e as justificações que entender necessárias. 1. Considere, num referencial o. n. Oxyz, duas rectas, r e s, de equações e , respectivamente. a) Justifique que as rectas r e s definem um plano. b) Justifique que o plano definido pelas rectas r e s é paralelo ao plano a, de equação . c) Determine a
amplitude do ângulo formado pelas rectas r e s. d) Considere os
planos b e g, de
equações e ,
respectivamente.
2. Na figura está representada, em referencial o. n. Oxyz, uma pirâmide quadrangular regular. · A base da pirâmide está contida no plano de equação . · O vértice A pertence ao eixo Oz. · O vértice B pertence ao plano yOz. · O vértice D pertence ao plano xOz. · O vértice C tem coordenadas (4, 4, 4). · A altura da pirâmide é 6.
a) Mostre que uma condição que define a recta DE é . b) Determine uma equação do plano que contém o ponto B e é perpendicular à recta DE.
3. Na figura está representado um lago artificial de forma rectangular, com 20 metros de largura e 30 metros de comprimento. Pretende-se construir uma ponte, ligando duas margens do lago, entre os pontos P1 e P2, (P1 [AB] e P2 [BC]), tal como a figura ilustra. A ponte tem um ponto de apoio Q, situado a 8 m de uma das margens e a 6 m da outra. Seja x a amplitude do ângulo P2P1B. (em radianos) a) Mostre que o comprimento da ponte, em metros, é dado por b) Considerando que a localização de P1 e de P2 pode variar, determine o comprimento da ponte para o qual se tem . Apresente o resultado em metros, arredondado às décimas. c) Determine entre
que valores pode variar a amplitude do ângulo P2P1B. d) Recorra à calculadora para determinar graficamente as soluções da equação que lhe permite resolver o seguinte problema: Quais são os valores de x para os quais o comprimento da ponte é 25 metros? Apresente todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente o gráfico, ou gráficos, obtido(s), bem como coordenadas relevantes de alguns pontos. Apresente os valores pedidos na forma de dízima, arredondados às centésimas. 4. Considere as funções f e g, reais de variável real, e os gráficos seguintes: e [A]
Os gráficos
são representações das funções f e g, contudo, por descuido, não
foram identificados. 5. A temperatura T, em graus centígrados, do forno de uma padaria varia, a partir do momento em que é ligado, de acordo com , com m em minutos. a) A que temperatura está o forno quando é
ligado? b) Determine durante quanto tempo, após ter sido
ligado, a temperatura do forno não é superior a 100º C.
FIM
COTAÇÕES 1.ª Parte ................................................................................................................................................................................ 45 pontos
Cada resposta certa ........................................................ +9 pontos Cada resposta errada ...................................................... -3 pontos Cada questão não respondida ou anulada................... 0 pontos Um total inferior a zero na 1.ª Parte vale 0 pontos.
2.ª Parte .............................................................................................................................................................................. 155 pontos 1. ....................................................................................................................................................... 46 pontos a) 10 b) 10 c) 12 d) 14 2. ....................................................................................................................................................... 23 pontos a) 12 b) 11 3. ....................................................................................................................................................... 50 pontos a) 12 b) 12 c) 10 d) 16 4. ......................................................................................................................................................... 8 pontos 5. ....................................................................................................................................................... 28 pontos a) 12 b) 16 Total 200 pontos |
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[D] 
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[C] 
[D] 
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[D] 
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