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Escola Secundária/3 da Sé-Lamego Prova Escrita de Matemática 24/11/2003 Turmas A e B - Prova 1 11.º Ano
1.ª Parte Para cada uma das seguintes 5 questões de escolha múltipla, seleccione a resposta correcta de entre as alternativas que lhe são apresentadas e escreva na sua folha de respostas a letra que lhe corresponde. Atenção! Se apresentar mais do que uma resposta a questão será anulada, o mesmo acontecendo em caso de resposta ambígua. Cotação: cada resposta certa, +9 pontos; cada resposta errada, -3 pontos; questão não respondida ou anulada, 0 pontos.
1. Na figura ao
lado está representada uma circunferência de centro O e raio 1. Seja a função que, a cada valor de , faz corresponder o valor do produto escalar . Qual dos gráficos seguintes pode ser o da função ? [A] [C]
2. Na figura estão representados, em referencial o. n. : · um quarto de círculo, de centro na origem e raio 1 · uma semi-recta paralela ao eixo , com origem no ponto · um ponto A pertencente a esta semi-recta · um ângulo de amplitude , cujo lado origem é o semieixo positivo e cujo lado extremidade é a semi-recta
Qual das expressões seguintes dá a área da região sombreada, em função de ? [A] [B] [C] [D] 3. Considere um vector tal que . Qual é o valor do produto escalar ? [A] [B] [C] [D] 4. Uma recta perpendicular à recta r: é a recta de equação: [A] [B] [C] [D] 5. Sendo um ângulo do 2.º quadrante, o valor da expressão pertence ao intervalo: [A] [B] [C] [D]
2.ª Parte Nas questões seguintes, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e as justificações que entender necessárias.
1. Na figura
está representado a sombreado um polígono [ABEG]. · [ABFG] é um quadrado de lado 2 · FD é um arco de circunferência de centro em B; o ponto E move-se ao longo desse arco; em consequência, o ponto C desloca-se sobre o segmento [BD], de tal forma que se tem sempre [EC] [BD]. · designa a amplitude, em radianos, do ângulo CBE ( ). a) Mostre que a área do polígono [ABEG] é dada em função de , por: . Sugestão: Pode ser-lhe útil considerar o trapézio [ACEG]. (note que este trapézio não é o polígono sombreado) b) Determine e . c) O valor de que corresponde à área máxima do polígono [ABEG] é uma solução da equação: Determine esse valor de e encontre o valor máximo da área. d) Recorra à calculadora para determinar graficamente as soluções da equação que lhe permite resolver o seguinte problema: Quais são os valores de x para os quais a área do polígono [ABEG] é ? Apresente todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente o gráfico, ou gráficos, obtido(s), bem como coordenadas relevantes de alguns pontos. Apresente os valores pedidos na forma de dízima, arredondados às décimas. 2. Sabendo que , calcule . 3. Resolva as condições seguintes: a) ; b) . 4. Considere num referencial o. n. : · uma recta r, cuja inclinação é 60º · dois pontos de coordenadas A (-3, 0) e B (4, 5) a) Escreva a equação reduzida da recta perpendicular à recta r e que contém o ponto A. b) Determine as coordenadas de um ponto C, pertencente ao eixo , de modo que o triângulo [ABC] seja rectângulo em B. Nota: Repare que se , então .
5. Considere num referencial o. n. o poliedro representado na figura que pode ser decomposto num cubo e em duas pirâmides quadrangulares regulares. Sabe-se que: · o vértice O do poliedro é a origem do referencial; · o vértice E do poliedro tem coordenadas (2, 2, 2); · a altura de cada uma das pirâmides é igual ao comprimento da aresta do cubo. a) Escreva uma equação vectorial da recta paralela à recta GP e que contém o ponto F. b) Determine, com aproximação à décima de grau, o ângulo que a recta AG faz com a recta CP. c) Determine as coordenadas de um vector perpendicular a e de norma 10.
FIM Formulário
COTAÇÕES 1.ª Parte................................................................................................................................................................................ 45 pontos
Cada resposta certa ........................................................ +9 pontos Cada resposta errada ...................................................... -3 pontos Cada questão não respondida ou anulada................... 0 pontos Um total inferior a zero na 1.ª Parte vale 0 pontos.
2.ª Parte.............................................................................................................................................................................. 155 pontos 1........................................................................................................................................................ 58 pontos a) 16 b) 12 c) 14 d) 16 2........................................................................................................................................................ 18 pontos 3........................................................................................................................................................ 20 pontos a) 8 b) 12 4........................................................................................................................................................ 27 pontos a) 12 b) 15 5........................................................................................................................................................ 32 pontos a) 8 b) 12 c) 12 Total 200 pontos |
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[B] 
[D] 
