Escola Secundária/3 da Sé-Lamego

Proposta de Resolução da Prova Escrita de Matemática

 

1.ª Parte

 

 

 

2.ª Parte

1.  

a)  

Dado que , considerando o triângulo rectângulo [AEF], temos:  e .
Como , vem   e  .
Assim, , c.q.m..

b)  

Quando ,  e . Logo, quando , .

Interpretação:
Quando , o ponto E aproxima-se do ponto D, o mesmo acontecendo com o ponto F. Assim, o quadrilátero [ABEF] tende a coincidir com o triângulo rectângulo [ABD], pelo que a sua área tende para a área do triângulo (  ).

c1)

Resolvendo a equação em IR, temos:

Como , o valor procurado é  (o único zero de A’).
Logo, a área máxima é .

c2)

Numa janela de visualização adequada ao contexto da situação, depois de definida a função  podemos determinar as coordenadas do ponto do gráfico de ordenada máxima:

         

Os cálculos realizados na calculadora (ver imagem), levam a admitir (com alguma convicção) que se confirmam os valores apresentados na alínea anterior.

2.  

a)  

Ora,  e, portanto, .
Logo, .
Assim, .

b)  

Como  e , então o vector  é perpendicular ao vector , quer ao vector . Assim, como  é perpendicular a dois vectores não colineares do plano BCD, é normal a esse plano.

Sendo  normal ao plano BCD, a equação pedida é da forma . Como C é um ponto desse plano, vem , pelo que  é uma equação cartesiana do plano BCD.

Alternativa:

3.  

a)  

Ora,

                            

Como a função apenas está definida em , vem:

 

      Portanto, durante os primeiros 7 segundos, o objecto distou do ponto de referência 15 cm ou menos.

b)  

Ora, , c.q.m..
Interpretação:
A distância do objecto ao ponto de referência aumentou, em média, 1 centímetro por segundo, entre os instantes  e  (entre o primeiro e o terceiro segundos de observação).

c)  

Tendo em consideração as propriedades da função quadrática e reparando que , temos:

 

 

Confirma-se que a função d tem um mínimo absoluto, que é igual a .

4.  

a)  

Ora,

Verificação:
Para , vem , que é uma proposição verdadeira.
Para , vem , que é uma proposição falsa.
Portanto, a equação dada apenas tem uma solução: .

b)  

Dado que , vem .

c)  

Sendo , então . Logo, .
Assim,

5.  

a)  

      Dado que , então  e, portanto, (  ) é monótona decrescente.
Como , a sucessão é uma progressão aritmética de razão .
Assim,  e, portanto,  é uma expressão do seu termo geral.

b)  

      Como , a sucessão é uma progressão geométrica.
Como o primeiro termo é  e a razão é  (  ), então a progressão é decrescente.
(Se preferir:
Dado que , a sucessão (  ) é monótona decrescente e, portanto, é uma progressão geométrica decrescente.)

       é o valor pedido.

c)  

Referenciando os teoremas por T₁, T₂, ... T₈, conforme o manual, temos:

Dado que  (s. r.), então , por T3. Logo, , por T6.

Dado que  (s. r.), então , por T3. Logo, , por T2.

 

FIM