Escola Secundária/3 da Sé-Lamego

Proposta de Resolução da Prova Escrita de Matemática

 

1.ª Parte

 

 

 

2.ª Parte

1.  

a)  

Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo rectângulo [AMP], temos . Dado que é  e , vem , com .

b)   Ora,

Verificação:

 (P.V.), logo  é uma solução da condição;

 (P.V.), logo  é também solução.

O comprimento total da canalização é 11 quilómetros, para  ou .

c)  

Definida a função  e tendo em conta o domínio considerado, ajustou-se a janela de visualização por forma a obter uma representação adequada e, de seguida, utilizando a função interna G-Solv, procurou-se as coordenadas do ponto do gráfico com menor ordenada:

         

O comprimento da canalização é mínimo para  (em quilómetros), com aproximação ao metro.

2.  

a)  

Ora,   e  .

b)  

A função g não admite inversa, pois é uma função não injectiva, visto que, por observação do seu gráfico, podemos constatar que há objectos diferentes com igual imagem.

Como  e , podemos concluir que  (pois as imagens de  são inferiores ou iguais a 3). Logo, .

c)  

 

Efectuado o estudo do sinal de f’, podemos concluir que f é estritamente decrescente no intervalo , quer no intervalo .

d)  

A recta r tem declive . Logo, as rectas perpendiculares a r têm declive .
Se existem duas rectas tangentes ao gráfico de f que são perpendiculares à recta r, então existem dois pontos onde .

Ora,

Portanto, existem de facto duas rectas tangentes ao gráfico de f que são perpendiculares à recta r.
(Essas tangentes são rectas que passam nos pontos de abcissa  e  (  - número de ouro)).

3.  

a)  

O lugar geométrico considerado é o plano mediador do segmento de recta [BC], que é nem mais o plano coordenado xOz, de equação .
De facto, vem:

b)  

Como o ângulo CAB é um ângulo inscrito num arco se semicircunferência, então é recto. Logo, .
Dado que r é paralela ao eixo Oz, então é perpendicular ao plano xOy, pelo que será perpendicular a todas as rectas desse plano, em particular às rectas AB e CA.
Logo, sendo  e , o vector  é perpendicular ao plano ABD, pois é perpendicular a duas rectas concorrentes (as rectas AB e BD) desse plano.

Sendo , então a equação pedida é do tipo . Como B é um ponto desse plano, será .
Logo,  é uma equação do plano considerado.

Alternativa:

c1)

Considerando o triângulo rectângulo [BOD], temos . Logo, .
Considerando para base da pirâmide o triângulo rectângulo [CBD], a altura da pirâmide é o segmento [AA’], sendo A’ (  ) a projecção ortogonal de A sobre o plano coordenado yOz.

Assim, temos: , com .

c2)

Ora, .

Dado que , o volume da pirâmide é  para  radianos.

4.  

a)  

Ora,

Dado que , a sucessão (  ) é estritamente decrescente. Logo é monótona.

b)  

O primeiro termo da sucessão é  e como a sucessão (  ) é estritamente decrescente, então . Isto é, a sucessão é limitada superiormente.

Aceitando a sugestão, temos , pois .
Logo, sendo , a sucessão é também limitada inferiormente.

Portanto, a sucessão (  ) é limitada, pois é limitada inferior e superiormente.

FIM