Escola Secundária/3 da Sé-Lamego

Proposta de Resolução da Prova Escrita de Matemática

 

1.ª Parte

 

 

2.ª Parte

1.  

a)  

A área da superfície terrestre é dada por .
A quarta parte da área da superfície terrestre é, portanto, . O valor de q a determinar é, então, a solução da equação .
Ora, .
Como , vem  (radianos).

b)  

De acordo com os dados, tem-se .
Como a área da superfície da terra visível da nave é dada por , temos:

, c.q.m..

c)  

Quando ,  e . Logo, , quando .
Interpretação: A área da superfície da terra visível da nave aproxima-se tanto quanto se queira de metade da área da superfície total da Terra, desde que a nave esteja suficientemente longe da Terra.

2.  

a)  

Como sabemos, a altura de uma pirâmide é perpendicular ao plano da sua base. Ora, os vectores  e , respectivamente, director da recta que contém a altura da pirâmide e vector normal ao plano considerado, são colineares, visto ser . Logo, podemos concluir que a altura da pirâmide é perpendicular ao plano considerado.
Como vértice O da base da pirâmide pertence ao plano referido, visto as coordenadas desse ponto verificarem a equação considerada, podemos concluir que a base da pirâmide está contida nesse plano.

b)  

Como a pirâmide é quadrangular regular, o centro da sua base (centro do quadrado [OPQR]) é o ponto de intersecção da recta com o plano dados.
Ora, o ponto de coordenadas  é um ponto da recta dada, pois para  obtemos .
Por outro lado, o ponto de coordenadas  é um ponto do plano considerado, pois essas coordenadas verificam a equação do plano: a proposição  é verdadeira.
Logo, o ponto de coordenadas , sendo o ponto de intersecção da recta e planos dados, é centro da base da pirâmide.

c)  

Designemos por C o centro da base da pirâmide.
Ora, o ponto C é equidistante das arestas [PQ] e [OR], por ser o centro do quadrado [OPQR]. Dado que a cota deste ponto é 5 e porque o planos OPQ e xOy são perpendiculares, podemos concluir que .
Por outro lado, a altura da pirâmide é .
Logo o volume da pirâmide é .

3.  

a)  

A área de uma das bases do prisma é  e a altura do prisma é , pois o seu volume é 2. Logo, a área de uma das faces laterais é .
Assim, , para , c.q.m..

b)  

Ora, , para .
Como  , vem:

 

 

Portanto, o valor de x para o qual a área total da embalagem é mínima é .

c)  

As soluções do problema são as abcissas dos pontos de intersecção do gráfico da função A com a recta de equação . Com recurso à calculadora, podemos obter parte do gráfico da função A, parte da recta de equação , bem como as abcissas dos pontos de intersecção do gráfico da função com a referida recta:

 

      

As solução do problema, com aproximação às décimas, são  e .

4.  

a)  

A taxa média de variação da função g no intervalo  é: .

b)  

Ora, .
Quando , . Logo, .
Como , não existe derivada de f no ponto de abcissa 1.

c)  

A derivada de f é uma f. r. v. r., de domínio , definida por: .

d)  

O declive dessa recta tangente é  e o ponto de tangência é .
Como , a equação pedida é .

e)  

Para , vem: .

Logo, a função considerada é:  

 

Nota: Repare que .

FIM