Escola Secundária/3 da Sé-Lamego

Proposta de Resolução da Prova Escrita de Matemática

 

1.ª Parte

 

 

2.ª Parte

1.  

a)  

No triângulo rectângulo [EFG], temos . Logo, .
A área de uma face lateral é, portanto, dada por .
Assim, a área total da pirâmide é dada por , c.q.m..

b)  

A área da pirâmide é igual a 12 para .

c)  

Definidas as funções  e , numa janela de visualização adequada ao contexto da situação, podemos determinar as coordenadas do ponto de intersecção dos dois gráficos:

         

Com recurso à calculadora gráfica, concluímos que a área total da pirâmide é igual a 12 para . (que é o valor de  aproximado às centésimas)

d1)

Como  e , um vector director da recta AE é .
Logo,  é uma equação vectorial da recta pedida, pelo que a equação  define a recta AE, c.q.m..

d2)

     

A intersecção da recta AE com o plano de equação  é o ponto de coordenadas .

d3)

A condição  define a superfície esférica de diâmetro [AC], isto é, de centro  e raio .

De facto, podemos confirmar:

2.  

a)  

Ora, .
Quando o valor da resistência variável for de 3 W, a potência nela dissipada é de 12 W.

b)  

Ora, se , então . Também, se , então  e, portanto, .
Logo, se , então , c.q.m..

A potência dissipada na resistência variável aproxima-se tanto quanto se queira de zero, desde que o valor da resistência seja suficientemente elevado.
(A potência dissipada na resistência variável será praticamente nula, quando o valor da resistência for suficientemente elevado.)

c)  

A potência dissipada é igual a 8 W, quando a resistência for de 0,5 W ou de 8 W.

d)  

Definida a função , numa janela de visualização adequada procurou-se o máximo e o maximizante da função, obtendo-se, respectivamente, 12,5 e 2,0:

Portanto, a potência máxima possível de obter é de 12,5 W, para uma resistência de 2,0 W.

3.  

a)  

   e   .

b)  

Ora, .
Logo, .

Como, , , então:  

c)  

Como a função n é polinomial de grau dois, com zeros  e , a sua expressão analítica é do tipo . Dado que, por exemplo, o ponto de coordenadas (2, 2) é um ponto do seu gráfico, terá de ser . Logo, , c.q.m..

Ora, .

Como, , , então:

d)  

                      

 

 

Logo, .

 

FIM