Escola Secundária/3 da Sé-Lamego

Proposta de Resolução da Prova Escrita de Matemática

 

1.ª Parte

 

 

2.ª Parte

1.  

a)  

Os vectores  e , directores das rectas r e s, respectivamente, não são colineares, pois as suas coordenadas não são proporcionais. Logo as rectas não são paralelas.
O ponto A de coordenas  é ponto quer de r quer de s, pois as suas coordenadas verificam as equações destas rectas.
Logo, as rectas r e s são concorrentes e, por isso, definem um plano.

b)  

Um vector normal ao plano a é .
Como  e , o vector  é perpendicular às rectas r e s, concorrentes em A. Consequentemente,  é também normal ao plano definido por essas duas rectas, pelo que os planos são paralelos (estritamente paralelos, pois  ).

c)  

Ora, .
Logo,  e, portanto, o ângulo das duas rectas tem a mesma amplitude, pois o ângulo dos vectores directores de r e s é agudo.

d)  

O sistema é possível e determinado, logo os três planos intersectam-se no ponto de coordenadas .

2.  

a)  

Dado que  e , um vector director da recta DE é .
Logo, a recta DE pode ser definida pela condição , donde (multiplicando os seus membros por –3) se obtém , c.q.m..

b)  

Como a recta DE é perpendicular ao plano considerado, um vector normal a este plano é , pelo que a equação procurada é do tipo . Como  é um ponto desse plano, as suas coordenadas têm de verificar a equação anterior. Assim, , pelo que uma equação do plano considerado é .

3.  

a)  

Os ângulos P₂P₁B e P₂QQ₂ são geometricamente iguais, pois são ângulos de lados directamente paralelos. Considerando, sucessivamente, os triângulos rectângulos [P₁Q₁Q] e [P₂Q₂Q], vem:

   e   , donde    e   .

Logo, , c.q.m..

b)  

Ora,  quando o triângulo rectângulo [P₁BP₂] for isósceles, logo .
Como , o comprimento da ponte nessas condições é aproximadamente 19,8 m.

c)  

A amplitude do ângulo P₂P₁B é mínima quando os pontos P₁ e A são coincidentes; é máxima quando são coincidentes os pontos P₂ e C.

Assim,  e , donde  rad e  rad. Logo, , aproximadamente.

d)  

Pretende-se resolver a equação  no intervalo , aproximadamente.
Para isso consideraram-se as funções  e  e (numa janela adequada, considerando o contexto da situação) determinaram-se as abcissas dos pontos de intersecção dos dois gráficos:

         

Dado que  (aproximadamente), conclui-se que o problema apenas possui uma solução: , considerando a aproximação solicitada.

4.  

Por exemplo:
A função f não está definida para  e a função g não está definida para .
O gráfico de f possui uma assimptota vertical de equação  e uma horizontal de equação ; o gráfico de g possui uma assimptota vertical de equação .
Por outro lado,  e .
Logo, f®[A] e g®[B].

5.  

a)  

Ora, . Logo, quando é ligado o forno está à temperatura de 26º C.

Como , então quando ,  e, portanto, . Por isso, estando o forno ligado durante um período de tempo suficientemente grande, a sua temperatura tende a estabilizar a 180º C.

b)  

Ora,

 

Tendo em consideração que a função apenas está definida para , vem:

 

 

Logo, .
Como , após ter sido ligado, a temperatura do forno é não superior a 100º C durante 55,5 segundos.

 

Pretende-se resolver a condição  , com . Para isso consideraram-se as funções  e  e (numa janela adequada, considerando o contexto da situação) determinaram-se as abcissas dos pontos de intersecção dos dois gráficos:

      

Face aos resultados obtidos, confirma-se a solução encontrada analiticamente.

 

FIM