Escola Secundária/3 da Sé-Lamego

Proposta de Resolução da Prova Escrita de Matemática

 

1.ª Parte

 

 

 

 

2.ª Parte

1.  

a)  

O cone rodando sobre uma superfície horizontal e plana, apoiando-se sucessivamente em todas as suas geratrizes, vai descrever um círculo de centro em V e raio l.

b)  

Como o cone retorna ao ponto de partida, depois de ter efectuado duas revoluções completas em torno do seu eixo de simetria, então o círculo referido na alínea anterior tem um perímetro que é duplo do da base do cone.
Assim, . Logo, sendo , é  e, portanto, .

2.  

Como o tetraedro é regular, as suas faces são triângulos equiláteros geometricamente iguais, sendo .

Considerando agora o triângulo isósceles [AVM], traçando a sua altura relativamente a [AV], temos .
Logo,  é a amplitude do ângulo considerado.

3.  

a)   , c.q.m.

b)  

Ora, para os valores em que a expressão tem significado, vem:
, c.q.m.

4.  

 

5.  

Ora, .

E, .

Como , então . Assim, aplicando a fórmula fundamental da trigonometria, temos:
.

Logo, .

6.  

Ora, quando , .
Logo, .
(Tenha em consideração as propriedades da função quadrática)

7.  

a)  

Ora,  para , isto é, quando .
Como , então  e, portanto, a semicircunferência tem raio 1.

b)  

O triângulo [ABC] é rectângulo em C pois o ângulo ACB está inscrito numa semicircunferência, sendo, por isso, recto.

Ora, , visto o ângulo inscrito ABC compreender o arco AC entre os seus lados.
Assim,  e, portanto, , c.q.m.

c)  

Ora, , c.q.m.
A área do triângulo é máxima quando  for máximo (  ), o que acontece para .

d)  

O perímetro do triângulo é dado por .

Introduzida a expressão algébrica que define a função e ajustada uma janela de visualização adequada, com a função GSolv + Max obtiveram-se os seguintes valores:  para  rad.

 

          

 

Considerando agora , obteve-se:  para .

 

     

 

É de supor que o maximizante da área do triângulo é também maximizante do seu perímetro e, assim sendo, será .

 

 

 

FIM