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Escola Secundária/3 da Sé-Lamego Ficha de Trabalho de MatemáticaAno Lectivo 2003/04 Derivadas - 2 11.º Ano
1. Uma
bola desce um plano inclinado. a) Represente graficamente a função d na situação descrita. b) Determine a velocidade média da bola no 1.º segundo de movimento. c) Qual será a velocidade da bola no instante segundos? d) Em que instante terá a bola uma velocidade de 36 cm/s? e) Construa o gráfico da velocidade da bola em função do tempo. 2. Um
projéctil é lançado verticalmente para cima com uma velocidade inicial de
120 m/s. a) Qual é a altura máxima que o projéctil atinge? b) Em que instante chega ao solo? c) Qual é a velocidade do projéctil em cada instante? d) Com que velocidade chega ao solo? e) A aceleração é a taxa de variação (instantânea) da velocidade. Qual é a aceleração do projéctil no instante t? f) Compare os gráficos da altura, velocidade e aceleração do projéctil.
3. Rectângulos
de área 50 a) Mostre que , para . b) Determine os valores de x para os quais o perímetro é inferior a 30 cm. c) Mostre que , para . d) Determine os intervalos de monotonia de P e as dimensões do rectângulo que tem perímetro mínimo. 4. A evolução da temperatura do ar em Lamego entre as 0 e as 24 horas do dia 1 de Janeiro foi dada pela função , com T em graus centígrados e h em horas. a) Determine a taxa de variação da temperatura às 0 horas do dia 1 de Janeiro. b) Sabendo que , determine os intervalos de monotonia de T e o instante (com aproximação ao minuto) em que foi máxima a temperatura do ar nesse dia. c) Escreva a equação reduzida da recta que é tangente ao gráfico de T no ponto de abcissa .
5. No referencial ortonormado da figura, considere: · Seja B o ponto de coordenadas (1, 2). · A cada ponto C (x, 0) do eixo Ox, com , faz‑se corresponder um ponto D (0, y) do eixo Oy, de modo que B, C e D sejam colineares. a) Mostre que: a1) exprime y em função de x (para ). a2) A área do triângulo [OCD] é dada por ( ). b) Sabendo que (A' designa a derivada de A): b1) Determine o maior intervalo onde A é crescente e o maior intervalo onde é decrescente. b2) Determine, com aproximação às centésimas, o perímetro do triângulo [OCD] que tem área mínima.
6. O
custo marginal a) Compare o custo marginal da produção de 5 motores com o custo da produção do 6.º motor. b) Complete a tabela ao lado.
7. Uma
caixa a) Mostre que o volume do paralelepípedo é dado pela expressão . b) Determine as dimensões da caixa, sabendo que ela apresenta o volume máximo para a área total indicada.
8. Na
praia Se cada metro da fita de flutuadores custar 10 €, qual deverá ser o valor de x e de y para que o gasto na compra seja mínimo? 9. Um
agricultor · Um dos lados em muro de tijolo · Nos três lados restantes, com rede Cada metro de
rede custa 1 € e cada metro de muro de tijolo fica em 3 €.
10. Uma
janela a) Exprima o perímetro da janela em função de x e de y. b) Retire da expressão anterior o valor de y em função de x. c) Para que valores de x se tem ? d) Utilizando os resultados anteriores, mostre que a área se pode escrever na forma . e) Determine para que valores de x e de y a área da janela é máxima.
11. Numa etapa da Volta a Portugal em Bicicleta, dois ciclistas, A e B, cortam uma meta de prémio da montanha ao mesmo tempo e iniciam uma descida de 400 metros. A partir desse instante, as distâncias percorridas são dadas em função do tempo por: · , para o ciclista A
· o gráfico ao lado, para o ciclista B
com d em metros e t em segundos. a) Qual dos ciclistas chegou primeiro ao fim da
descida? Justifique. b) Determine, o mais rigorosamente possível, a velocidade (em quilómetros por hora) do ciclista B no instante segundos. Descreva os seus procedimentos. c) Nesse percurso de 400 metros e relativamente ao ciclista A: c1) Calculando o valor da de quando a amplitude do intervalo tende para zero, mostre que a sua velocidade (em metros por segundo) variou ao longo do tempo (em segundos) segundo a relação c2) A sua aceleração foi maior no momento em que cortou a meta de prémio da montanha ou no momento em que chegou ao fim da descida? Justifique.
12. Na figura · o triângulo [ABC] é isósceles ( ) · [DEFG] é um rectângulo · ; ;
a) Mostre que a área do triângulo [ABC] é dada em função de x, por ( ). NOTA: Pode ser‑lhe útil reparar que os triângulos [ADE] e [EHB] são semelhantes. b) Sabe-se que (a'
designa a derivada de a).
SOLUÇÕES1. a) b) 5 cm/s. c) 72 cm/s. d) No instante segundos. e) 2. a) 735 metros, aproximadamente. b) Decorridos 24,5 segundos, aproximadamente. c) No instante t a velocidade é, em metros por segundo, dada por . d) 120 m/s (-120 m/s). e) No instante t a aceleração é, em m/s2, dada por . f) 3. b) O perímetro é inferior a 30 cm para valores de , em centímetros. d) P é decrescente em e crescente em ;
é um minimizante. 4. a) Às 0 horas do dia 1 de Janeiro, a taxa de variação da temperatura foi de 0,59 ºC/h, aproximadamente. b) T é estritamente crescente no intervalo e estritamente decrescente no intervalo . c) A equação pedida é . 5. b1) A função é decrescente em e crescente em . b2) O triângulo de área mínima tem de perímetro (2 c.d.). 6. a) e . 7. b) ; 8. O gasto mínimo é de 400 €, para e metros. 9. Nestas condições, o agricultor consegue vedar uma área máxima de 312,5 m2. 10. a) . b) . c) Como , então ( ). e) . 11. a) O ciclista
B chegou primeiro. b) A velocidade pedida é aproximadamente km/h. c2) A aceleração do ciclista A foi constante e igual a m/s2. 12. b) A área
mínima do triângulo [ABC] é 4
unidades de área, sendo obtida para .
Proposta de Resolução:1. a) b) Ora, . A velocidade média da bola no 1.º segundo de movimento é de 5 cm/s. c) Como ,
então . d) Ora, . e) A velocidade da bola, em função do tempo, é dada pela expressão , cuja representação gráfica pode ser:
2. a) Fazendo uma representação da função
considerada no contexto da situação, temos: b) c) No instante t (entre o momento em que é lançado e o momento em que chega ao solo), a velocidade do projéctil é, em metros por segundo, dada por . d) Como , o projéctil chega ao solo com uma velocidade de 120 m/s. (Porquê negativa?) e) No instante t (entre o momento em que é lançado e o momento em que chega ao solo), a aceleração é, em m/s2, dada por . f) Apresentam-se os três gráficos construídos
no mesmo referencial, mas com uma janela de visualização de menor amplitude
vertical para que seja possível observar o relativo à aceleração: (Veja os
gráficos apresentados na solução) 3. a) Designado por y a altura do
rectângulo, será . b) Ora, . c) Ora, , para . d) Como e , vem:
Como ,
então .
4. a) Ora,
b) Como e , vem:
T
é estritamente crescente no intervalo e estritamente decrescente no intervalo . c) O ponto de tangência tem coordenadas e a recta tem declive .
5. a1) Tendo em consideração a semelhança dos
triângulos [DOC] e [BAC] ( ), temos ,
donde . a2) , para . b1) No contexto da situação é e , logo:
A função é decrescente em e crescente em .
b2) Concluímos na alínea anterior que a área é
mínima para . Explore a animação GSP: · http://www.prof2000.pt/users/amma/recursos_materiais/alabmat/0_ficheiros/a_tr_ret.gsp 6. a) Como ,
então o custo marginal da produção de 5 motores é . b)
7. a) Designado por y a altura da caixa,
será ,
donde . b) Como e ,
o maximizante procurado é .
8. Como a área a vedar tem 200 metros quadrados,
então .
Portanto, o gasto mínimo é de 400 €, para e metros. Utilizando a calculadora gráfica, podemos obter:
9. Designado por x e y as dimensões da vedação e considerando a verba disponível, temos , donde , com . Logo, a área a vedar, expressa em função de x, é dada por: , com . Sendo e , temos:
Portanto, nestas condições, o agricultor consegue vedar uma área máxima de 312,5 m2.
10. a) Ora, . b) Da expressão anterior, vem . c) Como , então . Logo, tem-se para ( ). d) Ora, . e) Sendo e , temos:
Portanto, a área é máxima para , pois . 11. a) Por observação do gráfico, conclui‑se que o
ciclista B demorou 24 s a percorrer a descida de 400 metros.
b) A velocidade nesse instante é a taxa de variação da função d para segundos, que sabemos ser igual ao declive da recta tangente ao gráfico de d nesse ponto. Assim, desenhando essa recta o mais aproximadamente possível, concluímos que passa nos pontos de coordenadas (20, 350) e (0, 0), pelo que o seu declive é . Portanto a velocidade pedida é aproximadamente km/h. c1) Sendo e ,
temos: c2) Como sabemos, .
12. a) Tendo em consideração a sugestão, é ,
donde . c) (Note que e tenha em consideração o sinal da função quadrática (negativa entre os zeros))
A área mínima do triângulo [ABC] é 4
unidades de área, sendo obtida para .
Explore a animação GSP: · http://www.prof2000.pt/users/amma/recursos_materiais/alabmat/0_ficheiros/a_tr_iso.gsp
O Professor
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