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Escola Secundária/3 da Sé-Lamego Ficha de Trabalho de MatemáticaAno Lectivo 2003/04 Funções racionais 2 - Revisões 11.º Ano
1. Uma representação gráfica de uma determinada
função f pode ser visualizada numa
calculadora gráfica no rectângulo de visualização [-3, 5]´[-1,
7].
2. Na figura ao lado encontra‑se representado o
gráfico de uma função f. a) Indique, justificando, qual das expressões pode definir f: [A] . [B] . [C] . [D] . NOTA: Pretende-se que, sem utilizar a calculadora gráfica, utilize argumentos que lhe permita relacionar a expressão analítica com o gráfico. b) Sem efectuar uma resolução analítica, determine, recorrendo a intervalos, o conjunto solução da condição: . Exponha o raciocínio envolvido na sua resposta. SUGESTÃO: Esboce o gráfico da função no referencial acima e repare que o primeiro membro da inequação é o produto de duas funções. c) Sabendo que , comprove por via analítica o conjunto que indicou para solução da condição da alínea anterior. 3. Considere as funções reais de variável real definidas por: e . a) Caracterize a função . b) Qual é o comportamento da função g quando ? c) Escreva na forma e, identificando o seu tipo, indique as equações das assimptotas do gráfico de g. 4. Segundo os testes de um laboratório técnico, a eficiência da pilhas M-ergy, quando são usadas num walkman, pode ser expressa por: em que E é a eficiência em percentagem (%) e t é o tempo em horas de utilização. NOTA: Pretende-se uma resolução analítica. Não pode utilizar a calculadora gráfica. a) Qual é a eficiência das pilhas após 30 minutos de utilização? b) O walkman
só funciona em boas condições enquanto a eficiência das pilhas se mantiver
acima dos 40%. c) Se mantivermos o aparelho a funcionar mesmo em más condições, as pilhas continuam a dar energia até se esgotarem. Quando acontecerá isso? d) Qual é o domínio da função (neste problema)? 5. Os gráficos que seguem representam, respectivamente as funções f e g, reais de variável real.
a) Determine e . b) Indique o domínio das funções e . c) Esboce graficamente as funções e . d) Sabendo que f é uma função polinomial de grau 3, mostre que para qualquer x pertencente ao domínio de . NOTA: Comece
por obter a expressão analítica da função f. e) Resolva, gráfica e analiticamente, as condições: e . 6. Juntou-se ácido puro a 30 gramas de uma
substância 30% ácida. a) Determine uma expressão que represente a concentração do composto formado. b) Represente graficamente a função da alínea anterior (tenha em atenção o domínio). c) Entre que valores varia a função? d) Qual a quantidade de ácido puro que devemos adicionar para produzir uma solução 75% ácida? 7. Carlos Altis, um atleta que está a começar a sua carreira em salto em altura, arranjou um treinador. Este, depois de lhe fazer alguns exames e experiências, declarou que a altura a que conseguiria saltar se seguisse cuidadosamente o seu novo método de treino, evoluiria de acordo com a seguinte função em que a é a altura em metros e t é o tempo em semanas desde o início dos treinos. a) Que altura salta o Carlos no momento em que começa os treinos? b) O grande objectivo do Carlos é bater o recorde nacional, que é de 2,16 metros. Conseguirá? Quando? c) O recorde do mundo está nos 2,30 metros. Conseguirá o Carlos chegar lá? 8. Os serviços de jardinagem da Câmara plantaram
uma nova árvore no parque da cidade. em que h representa a altura em metros e t o tempo em anos desde que a árvore foi plantada no parque. a) Qual era a altura da árvore no momento em que foi plantada no parque? b) Quando terá a árvore 15 metros de altura? c) Há uma altura máxima que a árvore nunca ultrapassará. Qual é ela? d) A árvore fica bem integrada no parque quando tiver mais de 7 metros. A partir de quando acontecerá isso? e) Em média, uma árvore destas deixa de estar em boas condições aos 70 anos e tem de ser substituída. Que altura terá a árvore nessa altura? 9. A evolução do preço de um determinado produto é previsto pela função em que p representa o preço em euros e m o tempo em meses. a) Qual é o preço inicial do produto? b) Qual é o preço ao fim de um ano? c) Haverá uma altura em que o preço do produto seja € 3,10? d) Represente graficamente a evolução do preço durante um ano. 10. Uma avaria na central nuclear de Viladávila fez
disparar o seu sistema de alarme. Os técnicos imediatamente activaram os
procedimentos de emergência. em que T é a temperatura em ºC e x é o tempo decorrido em horas. a) Qual a temperatura da água quando se iniciou o procedimento de emergência? b) A sirene do alarme toca enquanto a temperatura for superior a 50 ºC. Quando é que a sirene esteve a tocar? c) O sistema de refrigeração explode se a água atingir ao 100 ºC. Se os técnicos não fizerem mais nada, quando é isso acontecerá? 11. A evolução da temperatura do ar em Lamego entre as 0 e as 24 horas do dia 1 de Janeiro foi dada pela função com T em graus centígrados e h em horas. a) Foi nessa passagem de ano ou na passagem para o dia 2 de Janeiro que foi mais baixa a temperatura do ar? b) Determine qual o período em que a temperatura do ar foi superior a 10 ºC. IMPORTANTE: Deve apresentar uma resolução analítica. Não pode responder à questão com recurso à calculadora. c) Utilizando a calculadora gráfica, determine, com aproximação ao minuto, o instante em que foi máxima a temperatura do ar nesse dia. Descreva, de forma sucinta, o seu procedimento. Apresente ainda um esboço do gráfico da função e indique a respectiva janela de visualização. 12. Sobre uma função f, real de variável real, sabe‑se que: · quando , então · quando , então ·
Então a função g admite as assimptotas de equações: [A] ; [B] ; [C] ; [D] ;
13. Na figura estão representadas graficamente as funções s e t. Qual das afirmações seguintes é verdadeira? [A] s é uma função par [B] [C] 5 é um zero da função [D]
14. Na figura ao lado estão representadas graficamente duas funções: f e g. Qual dos seguintes gráficos poderá ser o da função ? [A] [C] 15. De uma função g, de domínio IR, sabe‑se que: · · g é estritamente crescente em · g é par
Indique qual das seguintes afirmações é verdadeira. [A] O contradomínio de g é [B] g é estritamente crescente em IR [C] g é injectiva [D] g não tem zeros 16. Considere as seguintes representações gráficas.
Os gráficos das funções polinomiais f e g são os representados à esquerda. A função h, cujo gráfico se encontra à direita, é: [A] [B] [C] [D]
SOLUÇÕES1. O
número 3 provoca uma dilação no gráfico de f; o número 7 provoca uma
translação do gráfico de f, segundo o vector ;
o número 4 provoca uma translação do gráfico de f, segundo o vector . 2. a) C. b) . c) 3. a) b) Quando ,
; c) ; 4. a) Após 30 minutos de utilização, a eficiência das pilhas é de aproximadamente 91,2%. b) Podemos usar as pilhas nestas condições durante 9 horas e 12 minutos. c) Isso acontecerá ao fim de 78 horas de utilização. d) . 5. a) ; . b) ; . c) As funções y1 e y2 são idênticas, pois e , visto que . d) Como f é uma função polinomial de grau
3, com dois zeros, e ,
este último de multiplicidade dois, a sua expressão analítica é do tipo .
Como o ponto de coordenadas é ponto do seu gráfico, será .
Logo, . e) Ora, (Porquê?).
6. a) A massa total do composto é , em gramas. Sendo gramas de ácido, x gramas do ácido puro adicionado e gramas da substância ácida existente. Logo, . b) c) d) 54 gramas de ácido puro: 7. a) 2 metros. b) Sim, na 24ª semana: c) Não, pois . 8. a) 1 metro. b) Nunca, pois e, como é dado, . c) 12 metros, pois d) Aproximadamente 4 anos e 10 meses (4,8 anos). e) Aproximadamente 11,4 metros. 9. a) 4 euros. b) € 3,08 , aproximadamente. c) Sim, após 9 meses, pois . d) 10. a) 88 ºC. b) Até 1 hora após o disparo do sistema de
alarme e mais tarde, 9 horas e 30 minutos depois do alarme, continuará a tocar
se nada for feito. c) Decorrido 23 horas e 8 minutos,
aproximadamente, depois do sinal de alarme, pois 11. a)
e . b)
Como a função foi definida para , podemos concluir que a temperatura do ar nesse dia foi superior a 10 ºC entre as 10 e as 15 horas, exclusive.
c) Depois de definir a função e a janela de visualização [0, 24]´[-3,
12],
construi-se o gráfico e usando o comando TRACE constatou-se que a temperatura
máxima ocorreu pouco depois das 12 horas. Pretendendo‑se uma maior aproximação,
utilizou‑se o comando G‑SOLV+MAX e obteve‑se para maximizante o valor (3 c.d.). (Em alternativa, poder‑se‑ia fazer
um ZOOM conveniente e depois utilizar novamente o comando TRACE ou criar uma
tabela de valores adequados à aproximação pedida). 12. A 13. D 14. B 15. D 16. A
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[B] 
[D] 
