10.º Ano :: Prova Escrita de Matemática A

Escola Secundária/2,3 da Sé-Lamego

Prova Escrita de Matemática A

16/11/2009 Turma A - Prova 1 10.º Ano

1.ª Parte

Para cada uma das seguintes 5 questões de escolha múltipla, seleccione a resposta correcta de entre as alternativas que lhe são apresentadas e escreva na sua folha de respostas a letra que lhe corresponde.

Atenção! Se apresentar mais do que uma alternativa, a resposta será classificada com zero pontos, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível.

1. O lado do quadrado da figura tem 2 cm de comprimento.

A área da parte colorida, em centímetros quadrados, é:

[A] . [B] .

[C] . [D] .

2. Na figura estão representados:

· Um quadrado [ABCD];

· Uma semi-recta .

Admita que um ponto P, partindo de B, se desloca, a velocidade constante, ao longo do percurso sugerido pelas setas (primeiro percorre o segmento [BC] e seguidamente a semi-recta ).

Qual dos gráficos seguintes dá a distância d, do ponto P ao ponto A, em função do tempo t, contado a partir do instante em que P inicia o movimento?

[A] [B]

[C] [D]

3. As quatro faces do tetraedro [ABCD] são triângulos equiláteros.
M é o ponto médio da aresta [AB].

O triângulo [MCD] é:

[A] escaleno. [B] equilátero.

[C] estritamente isósceles. [D] rectângulo em C.

4. Numa certa pirâmide, a base tem n vértices.
Quantas faces e quantas arestas tem essa pirâmide?

[A] faces e arestas.

[B] faces e arestas.

[C] faces e arestas.

[D] faces e arestas.

5. Quais dos cubos representados podem ter sido construídos a partir da planificação apresentada na figura?

[A] Apenas 4 e 5.

[B] 1, 2 e 3.

[C] Apenas 1 e 3.

[D] 1, 3 e 5.

2.ª Parte

Nas questões seguintes, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e as justificações que entender necessárias.

1. Na figura estão representadas a pirâmide [CDKL] e o cubo [ABCDEFGH], que foi seccionado pelo plano GIJ.

Considere ainda:

· I e J são pontos médios da arestas a que pertencem;

· K é o centro da face [ABCD];

· ;

· .

a) Indique a posição relativa dos seguintes pares de rectas: BG e DK, CL e IJ, EF e GJ.

b) Indique, justificando, as amplitudes dos ângulos AEC e KDL.

c) Seja o volume do cubo e o volume da pirâmide [CDKL].
Determine o valor de .

d) Admita agora que .
Determine a área do triângulo [DKL].

e) Considere o plano , paralelo ao plano GIJ e que contém o ponto L.
Reproduza apenas o cubo, a secção [GIJ] e os pontos I, J e L na sua prova e, explicando o seu raciocínio, desenhe a secção produzida no cubo pelo plano .

Sugestão: Adopte 16 quadrículas para a medida do lado do quadrado [ABGF] e considere a aresta [BC] a diagonal de um quadrado de seis por seis quadrículas.

Dica: Comece por ter em consideração que, por exemplo, o plano CDE intersecta os planos GIJ e , paralelos entre si.

2. A figura A representa um cubo, cuja aresta mede 6 cm.
Considere, para cada vértice, os pontos das arestas que estão à distância x ( , em cm) desse vértice. Seccionando o cubo por planos que contêm esses pontos, obtemos o poliedro (cubo truncado) representado na figura B.

Para , obtém-se o cubo truncado representado mais abaixo e que vai considerar a partir de agora.

a) Quanto mede a diagonal [US]?
E a(s) aresta(s) do cubo truncado?

b) Este cubo truncado serviu de modelo para o fabrico de um copo, cuja boca é constituída pelos lados do octógono pertencente à face [EFGH] do cubo. Considere ainda que a espessura do copo é desprezável.

Deitou-se água dentro do copo, assente numa superfície horizontal. Em repouso, a superfície da água atinge o ponto U.

Qual o volume da água contida no copo?

c) Considere agora o poliedro que se obtém para .
Quantas faces tem este poliedro? Indique, justificando, que polígonos são as suas faces.

3. Na figura está representada uma circunferência de centro O, de que [AB] e [CD] são dois diâmetros perpendiculares. Considere ainda:

· As rectas AB e DF são paralelas;

· E é o ponto médio do segmento [CO];

· F é ponto de intersecção das rectas EB e DF.

a) Mostre que .

Sugestão: Comece por justificar a semelhança dos triângulos [BEO] e [FED].

b) Designe .
Mostre que a área da região sombreada é dada por .

c) Admita agora que .
Mostre que o perímetro da região tracejada é .

4. Efectue as operações indicadas e apresente o resultado na forma mais simples:

FIM

Formulário

Áreas de figuras planas

Volumes

Losango:

Trapézio:

Polígono regular:

Círculo:

Prisma:

Cilindro:

Pirâmide:

Cone:

Esfera:

COTAÇÕES

1.ª Parte ............................................................................................................................................................................ ... 40 pontos

Cada questão com resposta certa .......................................................................................... 8 pontos

Cada questão com resposta errada, não respondida ou anulada................................... 0 pontos

2.ª Parte ............................................................................................................................................................................ . 160 pontos

1. ................................................................................................................................................... 65 pontos

a) 8

b) 12

c) 14

d) 15

e) 16

2. ................................................................................................................................................... 45 pontos

a) 17

b) 18

c) 10

3. ................................................................................................................................................... 35 pontos

a) 11

b) 12

c) 12

4. ................................................................................................................................................... 15 pontos

Total 200 pontos