Escola Secundária/2,3 da Sé-Lamego

Proposta de Resolução da Prova Escrita de Matemática A

1.ª Parte

 

 

2.ª Parte

1.  

a)  
O cubo e a pirâmide considerados têm iguais bases e iguais alturas.
Logo, a pirâmide tem a terça parte do volume do cubo, pois sabemos que  e . Consequente, o volume do cubo é triplo do volume da pirâmide [STUVA].
Portanto, a primeira afirmação é verdadeira.

Ora, o triângulo [SUR] é equilátero, pois os seus lados são diagonais faciais do mesmo cubo. Consequentemente, o triângulo é equiângulo, sendo por isso .
Portanto, a segunda afirmação é falsa.

b)  
O raio da esfera é  (metade da diagonal espacial do cubo: ).
O seu centro é o ponto M, ponto médio do segmento de recta [AU]: .
Logo, a condição  define a esfera de diâmetro [AU].

c)  
Um vector director da recta é .
Como , então  é uma equação vectorial da recta considerada.

2.  

a)  
Como o mural tem 26 metros de perímetro, então a medida do outro lado do mural é expresso, em metros, por . Consequentemente, as correspondentes medidas, em metros, dos lados da tapeçaria são expressos por  e .
Assim, , com .

b)  
Ora,


O gráfico da função é um arco de parábola, com a concavidade voltada para baixo e com vértice .
Logo, a área da tapeçaria é máxima para  (metros) e a área máxima é 25 metros quadrados.

3.  

a)  
Como dois dos zeros da função são  e , aplicando sucessivamente a regra de Ruffini, temos:

                Logo, .

Ora, .
Portanto, os três zeros da função f são: ,  e  (duplo).
Logo, o ponto B tem abcissa 1.

Assim, .

b)  

      Elaborando uma tabela de sinal da função, obtemos:

 

 

      Logo, .
Portanto, , sendo  e  os dois menores zeros da função f.

c)  
Com a ferramenta adequada, determinou-se o mínimo absoluto da função: , obtido para .
Logo, .
Seja E a projecção ortogonal do ponto D sobre o eixo Ox.
Assim, .

 4. 

a)  

 

 b) 

b1)  

        

        

         Relativamente à disciplina de Matemática A, a média das classificações é 18 valores e o desvio padrão 1,2 valores.

b2)  

         Relativamente à disciplina de Biologia e Geologia, a média das classificações é 18 valores e o desvio padrão 1,6 valores.
Quanto aos quartis, obteve-se: ,  e .

FIM