Escola Secundária/2,3 da Sé-Lamego

Proposta de Resolução da Prova Escrita de Matemática A

1.ª Parte

 

 

2.ª Parte

1.  

a)  
Os segmentos de recta [TS] e [TR] são, respectivamente, uma aresta e uma diagonal espacial do cubo. Logo, .
Consequentemente, o ponto T não pertence ao plano mediador do segmento de recta [SR], pois não é equidistante dos extremos do segmento.
Portanto, a primeira afirmação é falsa.

Os vectores  e  são simétricos, logo têm iguais normas:
    -   , logo ;
    -   , logo .
Portanto, a segunda afirmação é verdadeira.

b)  
A aresta [UQ] pode ser definida pela condição: .

Alternativa:
O vector  é director da recta UQ, logo  é uma equação vectorial dessa recta.
Assim, a condição  define a aresta [UQ].

c)  
Ora, .
Como  e , temos:
.

2.  

a)  
Como o declive da recta AB é , então sua equação reduzida é da forma .
Dado que o ponto B pertence a essa recta, as suas coordenadas têm de verificar a equação anterior. Assim, .
Logo,  é a equação reduzida da recta AB.
Para , temos: . Logo, .

b)  
;
zeros: ,  e ;
f é estritamente crescente em  e em  (*),
estritamente decrescente em
e constante em  e em ;
mínimo absoluto: ; máximo absoluto: ; mínimo relativo: ; máximo relativo: .

(*) Da equação da recta AB, para , vem: .

c)  

d)  
Por observação do gráfico, temos: .
Logo, .

3.  

a)  
O gráfico de g está representado no ecrã seleccionado, o qual pode ser obtido do gráfico de  pela translação associada ao vector .
Em alternativa, poder-se-ia obter o gráfico de  e finalmente o gráfico de
por translações associadas a  e , sucessivamente aplicadas, começando pelo gráfico de .

b)  

b1)  

b2)  

4.  

a)  
As expressões que dão, em função de x, as áreas de um dos quadrados e de um dos triângulos são, respectivamente,  e .

Assim, a área, em , da parte de madeira (representada a branco) da placa decorativa é dada, em função de x, por:    ( ).

b)  
Temos sucessivamente:

                     

c)  
Se a área da madeira é igual à área de metal, então estas são iguais a metade da área da placa decorativa, isto é, . Logo, o problema pode ser equacionado pela condição , com .
Definidas as funções  e , determinou-se, com a ferramenta adequada, as coordenadas do ponto de intersecção dos seus gráficos, no domínio considerado.
Logo, o valor procurado é  (cm).

      Alternativa:
Como , bastaria procurar o zero da função  no domínio considerado.