Escola
Secundária/2,3 da Sé-Lamego
Proposta de
Resolução da Prova Escrita de Matemática A
09/12/2009 Turma
A - Provas 1 e 2 10.º
Ano
1.ª Parte
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Questão
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1-a)
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1-b)
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2
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3
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4
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Prova 1
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B
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B
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D
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C
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A
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Questão
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2-a)
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2-b)
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1
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4
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3
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Prova 2
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D
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A
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C
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D
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B
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2.ª Parte
1.
a)
As coordenadas pedidas são: ,
,
e .
b)
As rectas _TU_
e _RV_ são não complanares.
As rectas _AE_ e _BE_ são concorrentes oblíquas.
A recta _RQ_ é perpendicular ao plano _PQU_.
A intersecção dos planos CRS e PTU é __a recta QT__.
A distância de F ao plano yOz é _2_ unidades e ao plano de
equação é _4_ unidades.
c1)
Uma condição cartesiana que caracteriza o plano ABC é .
c2)
Uma condição cartesiana que caracteriza o segmento de recta [FP] é .
c3)
Uma condição cartesiana que caracteriza a face [STUV] é .
d)
Como G e V são pontos de abcissa nula, então são pontos do plano coordenado yOz. Consequentemente, a recta GV é uma
recta do plano yOz. A recta QR,
perpendicular ao plano yOz, intersecta este plano no ponto R (não pertencente à
recta GV), logo as rectas QR e GV não são concorrentes. Sendo a recta QR
perpendicular ao plano yOz, então é
perpendicular à recta GV, pois esta é uma recta deste plano. Mas estas rectas
também não são paralelas, logo são não complanares.
Em conclusão, as rectas são perpendiculares não complanares.
e)
A secção produzida pelo plano FQD está desenhada na figura ao lado.
Note que as rectas r e FQ são paralelas.
f1)
Seja H (1, 1, 0) o centro da base da pirâmide.
Dado que a pirâmide é regular, então a sua altura é .
Como o volume do cubo é ,
temos .
Assim, vem: .
Logo, o ponto E tem de coordenadas (1, 1, 3).
f2)
As quatro faces laterais da pirâmide são triângulos isósceles geometricamente
iguais.
Considerando que e ,
então .
Designando por M o ponto médio do segmento de recta [AB] e aplicando o Teorema
de Pitágoras no triângulo rectângulo [AME], temos: .
Assim, a área lateral da pirâmide é .
2.
a)
O ponto simétrico de C em relação ao eixo Ox
tem de coordenadas .
Assim, temos:
.
b)
O raio da circunferência é e o seu centro é .
Assim, uma sua equação é ,
c.q.m.
c)
O ponto B é um ponto de abcissa nula, pois pertence ao eixo Oy.
Como B é um ponto da circunferência, as suas coordenadas terão de verificar a
equação da circunferência. Assim, vem: .
Como o ponto pretendido (intersecção da circunferência com o semi-eixo positivo
das ordenadas) tem ordenada positiva, conclui-se que .
d)
Uma condição que caracteriza o domínio plano colorido (incluindo a fronteira)
é:
.
3.
a)
b)
4.
A)
B)
