Escola Secundária/2,3 da Sé-Lamego

Proposta de Resolução da Prova Escrita de Matemática A

 

1.ª Parte

 

 

2.ª Parte

1.  

 

a)  
As rectas BG e DK são concorrentes perpendiculares.
As rectas CL e IJ são concorrentes oblíquas.
As rectas EF e GJ são não complanares.

b)  
O triângulo [AEC] é equilátero, pois os seus lados são diagonais faciais do cubo. Sendo equilátero, o triângulo é também equiângulo e, portanto, .
A recta ED é perpendicular ao plano que contém a face [ABCD] do cubo. Consequentemente, é perpendicular à recta DK pertencente a esse plano, pois uma recta perpendicular a um plano é perpendicular a todas as rectas desse plano. Assim, .

c)  
Seja M o ponto médio de [CD].
Ora, .
Logo, .
Nota: Repare que a área do triângulo [CDK] é a quarta parte da base do cubo, isto é, . (Porquê?)

d)  
O ponto K é o ponto de intersecção das diagonais [AC] e [BD], que se bissectam.
Assim,  cm.
Dado que o triângulo [DLK] é rectângulo em D (ver alínea b)), temos:
 cm².

e)  
Um plano intersecta planos paralelos segundo rectas paralelas. Assim, o plano que contém a face [CDEH] intersecta os planos GIJ e  segundo rectas paralelas. Por isso, traçou-se uma recta paralela a IJ e passando por L, que é a recta de intersecção do plano  com o plano da face [CDEH]. Consequentemente, o segmento [LP] é a intersecção de  com essa face do cubo.
Dado que o plano  intersecta as faces paralelas do cubo segundo segmentos paralelos, determinaram-se sucessivamente os pontos Q, R, S e T, assim como as respectivas secções nas faces.
Conclui-se, portanto, que a secção pedida é o hexágono irregular [PQRSTL].

2.  

a)  
Tendo em conta que a diagonal [US] é também diagonal do rectângulo [RSTU], o seu comprimento é  cm.
As arestas são de dois tipos: umas são geometricamente iguais ao segmento [UR], de comprimento 2 centímetros; as outras são geometricamente iguais ao segmento [UV], de comprimento  cm.

b)  
O volume pedido pode ser obtido pela diferença entre os volumes do paralelepípedo rectângulo de base [ABCD] e altura [BU] e de quatro das oito pirâmides congruentes que se destacaram do cubo.
Assim, vem:

Portanto, o volume da água contida no copo é  cm³.

c)  
Para , o ponto X coincidirá com o ponto médio da aresta [EF], ocorrendo o mesmo com os outros pontos correspondentes nas restantes 11 arestas do cubo. Desta forma, os octógonos transformam-se em quadrados
O novo poliedro obtido (cuboctaedro) tem também 14 faces: 8 triângulos equiláteros e 6 quadrados.
As faces triangulares têm por vértices os pontos médios das arestas convergentes num mesmo vértice do cubo e as faces quadradas têm por vértices os pontos médios das arestas pertencentes à mesma face.

3.  

a)  
Os triângulos [BEO] e [FED] são ambos triângulos rectângulos e possuem um ângulo comum: . Assim, estes triângulos são semelhantes, pois existem dois pares de ângulos iguais, cada um a cada um, de um para o outro triângulo.
Logo, , c.q.m..

b)  
.

c)  

4.  
.

 

FIM