Escola Secundária/2,3 da Sé-Lamego

Proposta de Resolução da Prova Escrita de Matemática A

 

1.ª Parte

 

 

2.ª Parte

1.   Comecemos por considerar uma planificação da caixa cúbica, representada na figura ao lado.

      De acordo com as construções aí elaboradas e, talvez, contrariamente às expectativas, a formiga pode alcançar o ponto M pelo caminho mais curto através do trajecto [CQ] seguido de [QM] (e não [CP] seguido de [PM]).

Nota: Uma observação cuidada da caixa teria permitido eleger a primeira parte do caminho sobre a face [CDHG], pois dessa forma atingiria a face [EFGH] segundo uma aresta concorrente em relação à que contém o ponto M, e não paralela, caso escolhe-se a primeira parte do trajecto sobre a face [BCGF].

      Como o triângulo [CPG] é uma redução do triângulo [CM’’H’’’] de razão , então cm.

      Dado que os pontos Q’, Q’’ e P são equidistantes de G, então cm.

      Aplicando sucessivamente o Teorema de Pitágoras nos triângulos [CM’’H’’’], [CQ’G] e [Q’’M’’H’’’], temos:

 cm
 cm
 cm.

      Como  e , confirma-se que o comprimento do trajecto [CQ] seguido de [QM] é inferior ao do [CP] seguido de [PM].

      Portanto, a formiga pode alcançar o ponto M pelo caminho mais curto através do trajecto [CQ] seguido de [QM], de comprimento cm.

2.   Não há qualquer vantagem para o Manuel na escolha do processo de cálculo, porque a ordem da aplicação do desconto e do imposto não influencia o valor final a pagar.

      Com efeito, temos:

 

      (A influência reflecte-se apenas na forma como é repartido o valor pago entre o comerciante e o Estado.
De acordo com o Código do IVA deve ser aplicado o 2.º processo.)

3.  

a)   Como a pirâmide [ABCDV] é regular, a sua altura [OV] é perpendicular à base, logo também perpendicular ao topo do tronco de pirâmide, já que as suas bases são paralelas.
Como uma recta perpendicular a um plano é perpendicular a todas as rectas desse plano, então são perpendiculares as rectas OV e OR, assim como OV e PS.
Deste modo, são rectos os ângulos VPS e VOR.
Por outro lado, o ângulo OVR é um ângulo comum aos dois triângulos [ORV] e [PSV].
Assim, os triângulos são semelhantes, pois têm, de um para o outro, um par de ângulos geometricamente iguais.

Como os triângulos são semelhantes, então são proporcionais os comprimentos dos lados correspondentes. Assim, , donde, substituindo os valores conhecidos, se obtém: .

      Portanto, cm.

b)  

      A base do troféu tem  cm³ de volume.

4.  

a1)   Ora, , c.q.m.

a2)  

b)  

      Ainda que 2 e 1 sejam soluções da equação , não são ambas soluções do problema:
Para , obtém-se cm e cm, o que contraria os dados do problema, pois .
Para , obtém-se cm e cm, que está de acordo com os dados do problema.

Portanto, a área da zona colorida é cm² para .

5.   Fazendo , vem:

                Logo,

      Portanto, .