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Escola Secundária/3 da Sé-Lamego Prova Escrita de Matemática A 15/11/2004 Turmas A e E - Prova 2 10.º Ano
1.ª Parte Para cada uma das seguintes 5 questões de escolha múltipla, seleccione a resposta correcta de entre as alternativas que lhe são apresentadas e escreva na sua folha de respostas a letra que lhe corresponde. Atenção! Se apresentar mais do que uma resposta a questão será anulada, o mesmo acontecendo em caso de resposta ambígua. Cotação: cada resposta certa, +9 pontos; cada resposta errada, -3 pontos; questão não respondida ou anulada, 0 pontos. 1. Considere as afirmações seguintes: I. “Se uma recta é paralela a um plano, é paralela a todas as rectas desse plano.” II. “Se dois planos são paralelos, toda a recta de um deles é paralela ao outro.” III. “Se dois planos são perpendiculares, toda a recta de um deles é perpendicular ao outro.” IV. “Se um plano é perpendicular à intersecção de dois planos, é perpendicular aos dois planos.”
São verdadeiras as afirmações: [A] Apenas II e IV [B] Apenas I e III [C] Apenas II, III e IV [D] Apenas I, III e IV
2. Considere o cubo representado na figura. [A] [C] 3. Qual das seguintes figuras representa a planificação de um poliedro regular? [A] 4. Qual dos seguintes triângulos não pode ser obtido como secção produzida num cubo por um plano? [A] Triângulo isósceles [B] Triângulo rectângulo [C] Triângulo escaleno [D] Triângulo equilátero 5. A diagonal de um quadrado mede 6 cm. Quanto mede, em centímetros quadrados, a área do quadrado? [A] 18 [B] 24 [C] 36 [D] 72 2.ª Parte Nas questões seguintes, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e as justificações que entender necessárias.
1. Na figura estão traçadas seis diagonais faciais de um cubo. Uma em cada face, de modo que as seis diagonais representadas concorrem apenas em quatro vértices do cubo. a) Justifique que o ângulo entre as diagonais faciais [DE] e [DB] é de 60º. b) Justifique que o poliedro cujas arestas são as diagonais traçadas é um tetraedro regular. c) Considere que a medida da aresta do cubo é a. c1) Mostre que, em função de a, a área de uma face do tetraedro é dada por: . c2) Mostre que o volume do tetraedro é do volume do cubo. Nota: Repare que o espaço entre o tetraedro e o cubo é ocupado por 4 pirâmides congruentes.
2. Na figura ao lado, os pontos R, S e T são, respectivamente, os pontos médios das arestas [AE], [CG] e [FG] do cubo de aresta 4 cm, aí representado. a) Justificando,
classifique o polígono [RBSH]. b) Diga, justificando: b1) Qual a posição relativa das rectas EF e BS? b2) Considere
o plano a,
paralelo ao plano RBS e que contém o ponto T. c) Considere
novamente o plano a,
paralelo ao plano RBS e que contém o ponto T. Nota: Não deixe de reparar que o plano BCG intersecta os dois planos paralelos referidos (o plano RBS e o plano a). d) Justificando, classifique, quanto aos lados, o polígono obtido na alínea anterior. Sugestão 1: Tenha em consideração o triângulo [RBS] e que a recta RS é a intersecção do plano RBS com o plano paralelo ao plano EFG e que contém o ponto R. Sugestão 2: Planifique as faces
[ABFE] e [BCGF], com a
aresta [BF] comum.
3. A figura A
representa um cubo com aresta 6 cm. Para , obtém-se o cubo truncado representado mais abaixo e que vai considerar a partir de agora.
a) Que tipos de polígonos são as faces deste poliedro e quantas de cada tipo? b) Quanto mede a
diagonal [US]? c) Calcule a área da superfície do cubo truncado. Sugestão: Para evitar a repetição de cálculos, utilize convenientemente a fórmula apresentada na alínea 1-c1). d) Este cubo truncado, com cm3 de volume, serviu de modelo para o fabrico de um copo, cuja boca é o octógono pertencente à face [EFGH] do cubo. Considere ainda que a espessura do copo é desprezável. Deitou-se água dentro do copo, assente numa superfície horizontal. Em repouso, a superfície da água atinge o ponto U. Qual o volume da água contida no copo? Nota: Não se esperam muitos cálculos.
FIM Formulário
COTAÇÕES 1.ª Parte................................................................................................................................................................................ 45 pontos
Cada resposta certa ........................................................ +9 pontos Cada resposta errada ...................................................... -3 pontos Cada questão não respondida ou anulada................... 0 pontos Um total inferior a zero na 1.ª Parte vale 0 pontos.
2.ª Parte.............................................................................................................................................................................. 155 pontos 1........................................................................................................................................................ 52 pontos a) 10 b) 10 c1) 20 c2) 12 2........................................................................................................................................................ 54 pontos a) 16 b1) 8 b2) 8 c) 12 d) 10 3........................................................................................................................................................ 49 pontos a) 10 b) 12 c) 15 d) 12 Total 200 pontos
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[B] 
[D] 
[B] 
[C] 
[D] 
