10º Ano - Proposta de Resolução da Prova Escrita de Matemática A

Escola Secundária/3 da Sé-Lamego

Proposta de Resolução da Prova Escrita de Matemática A

06/06/2005 Turmas A e E - Provas 1 e 2 10.º Ano

1.ª Parte

1(1)

2(2)

3(3)

4(4)

5(5)

*Questão*	1	2	3	4	5
*Prova 1*	B	D	C	A	B

*Questão*	5	4	2	1	3
*Prova 2*	A	D	B	D	A

2.ª Parte

Se um dos lagos tiver um metro de raio, será ou .
Ora, e .
Portanto, se um dos lagos tiver um metro de raio, é de m² a área relvada.

A função está definida em . Ora,

Como sabemos, a função quadrática tem por gráfico uma parábola com a concavidade voltada para baixo, com eixo de simetria a recta de equação e cujo vértice é o ponto . Portanto, o maximizante procurado é .

Assim, de forma a tornar máxima a área para o relvado, os lagos devem ter iguais raios: 2 metros.

Ora, .
Logo, de acordo com o «teorema do resto», o resto da divisão de f(x) por é 4.
A afirmação é, portanto, verdadeira.

Aplicando sucessivamente a regra de Ruffini, temos:

Logo, , c.q.m.

Tendo em consideração as propriedades da função afim, vem:


-	0	+	+	+	+	+
-	-	-	0	+	+	+
-	-	-	-	-	0	+
-	0	+	0	-	0	+

Logo, .
Assim, o conjunto pedido é .

O declive da recta AB é e a ordenada na origem é 6.
Logo, é a equação reduzida da recta AB.

Definidas as funções e , utilizando uma janela de visualização adequada, podemos fazer uma representação simultânea dos seus gráficos:

Recorrendo à ferramenta adequada, obtemos as coordenadas do ponto C que, com a aproximação pedida, são e .

Logo, .
Portanto, a medida da área do triângulo [OBC] é 6.

· A condição define a semi-recta .

Um vector director da recta HB é .
Logo, é uma equação vectorial da recta pedida.

Ora, , pois F pertence à recta DE.
Como F pertence à recta HB, vem:

Logo, .

O centro da superfície esférica é o ponto médio de [BD], de coordenadas .
O seu raio é .

Ora, .
Como , então o ponto P pertence à superfície esférica considerada.

Classificação em EF (em valores)	*Frequência relativa (%)*	*Frequência absoluta acumulada*
10	23,1%	3
11	23,1%	6
12	30,7%	10
14	7,7%	11
15	15,4%	13
TOTAL	100,0%	------------

É de 11,9 valores, aproximadamente, a média das classificações atribuídas na disciplina de Educação Física.

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13

x_i	9	10	10	10	11	11	12	13	14	14	14	14	15

Numerando de 1 a 13 as classificações atribuídas, ordenadas por ordem crescente, temos:

, e .

Seja M o ponto médio de [AB]. Logo, .
Como M é um ponto da recta PC, visto a mediatriz de um segmento de recta conter o ponto médio do segmento, podemos determinar o declive dessa mediatriz: .

Portanto, a equação reduzida da recta considerada é do tipo .
Dado que C pertence a esta recta, temos .
Assim, é a equação reduzida da mediatriz de [AB].
Como e é ponto da mediatriz de [AB], então .

Ora,.

Logo, .

FIM

(1) Repare que, no instante , a distância entre os ciclistas é de quilómetros.
Deslocando-se em direcções perpendiculares, a distância entre os ciclistas nunca é nula, pois isso apenas poderia acontecer se chegassem ao cruzamento ao mesmo tempo. Esta situação não ocorre, visto que se deslocam à mesma velocidade constante e, no momento inicial, encontram-se a distâncias diferentes do cruzamento.

(2) Comece por construir um paralelogramo [ABCD] e recorde o conceito relativo à soma de um ponto com um vector.
Em caso de dúvida, contacte o seu professor

(3) Em caso de dúvida, contacte o seu professor.

(4) O gráfico de g pode ser obtido do gráfico de f por translação associada ao vector .
Como o máximo relativo de g passa a ser –1, facilmente se constata que g apenas possui um zero.

(5) Dado que , o declive da recta é , sendo e as coordenadas de um vector director.

TOTAL