Escola Secundária/3 da Sé-Lamego

Proposta de Resolução da Prova Escrita de Matemática A

 

1.ª Parte

 

 

 

 

2.ª Parte

1.  

a)  

Considerando que o gráfico de g se pode obter do gráfico de  por translação associada ao vector , vem:

b)  

A recta considerada contém os pontos de coordenadas  e , logo o seu declive é .
A sua equação reduzida é da forma . Como as coordenadas do primeiro ponto considerado (por exemplo) têm de verificar esta equação, vem .
Portanto, a função f pode ser definida por .

c1)

Logo, .

c2)

Ora,

2.  

a)  

Ora, a parábola referida pode ser definida por uma expressão da forma , com  e .
Portanto, , com  ( , porquê?). Como o ponto C é um ponto da parábola, vem: .
Logo, .

b)  

A altura da parte correspondente ao gelado é a distância entre o ponto V e a recta AB.

Como A é também um ponto da parábola, a sua ordenada é .
Assim,  e, portanto, a parte correspondente ao gelado tem 9 cm de altura.

3.  

a)  

O ponto alcançado pela água tem ordenada nula, pelo que será , com .

Ora, .

Portanto, é de 5 metros a distância alcançada pela água.

b)  

O gráfico da função considerada é um arco de parábola, simétrico em relação a uma recta paralela ao eixo Oy e que contém o vértice dessa parábola.
Ora, a equação desse eixo de simetria é , pelo que a ordenada do vértice da parábola é .
Portanto, a água atinge uma altura máxima de 1,25 metros.

Nota:
Uma alternativa para determinar as coordenadas do vértice, passaria por escrever .
Ou seja, .

c1)

Pretende-se determinar o conjunto-solução da condição .
Como conhecemos a representação gráfica da função, o conjunto-solução procurado ficará determinado conhecendo as soluções da equação .

Assim, temos:

Logo, a água encontra-se a uma altura superior ou igual a 80 centímetros para , em metros.

c2)

Sabendo que o domínio da função é  e tendo também em conta a altura máxima atingida pela água, podemos considerar adequada a janela de visualização [0, 5] x [-1, 2]. Definidas as função  e , representando-as simultaneamente podemos determinar as coordenadas dos pontos de intersecção dos dois gráficos:

         

As coordenadas dos pontos de intersecção são  e .

Logo, a água encontra-se a uma altura superior ou igual a 80 centímetros para , em metros.

4.  

a1)

O plano mediador de [AB] pode ser definido por .

a2)

A face [BCDG] pode ser definida por .

a3)

A esfera considerada pode ser definida por , visto ter raio igual a metade da aresta do cubo e o seu centro ser o centro do cubo, de coordenadas (2, 2, 2).

a4)

Como  e , um vector director da recta é .
Logo,  é uma equação vectorial da recta FC.

b)  

Ora, .
Logo, .

c)  

A secção produzida é o círculo de raio [QR] (ver figura).
Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo rectângulo [PQR], temos . Esse círculo tem  cm² de área.

Alternativa:

Portanto, a secção produzida é um círculo de centro (2, 2, 3) e raio  unidades, pertencente ao plano de equação . Logo, o círculo tem  cm² de área.