Escola Secundária/3 da Sé-Lamego

Proposta de Resolução da Prova Escrita de Matemática A

 

1.ª Parte

 

 

 

 

2.ª Parte

1.  

a)  

O raio da circunferência é  e o seu centro é .
Assim, uma sua equação é:

, c.q.m..

b)  

O ponto B é um ponto de abcissa nula, pois pertence ao eixo Oy.
Como B é um ponto da circunferência, as suas coordenadas terão de verificar a equação da circunferência. Assim, vem:

.

Como o ponto pretendido (intersecção da circunferência com o semi-eixo positivo das ordenadas) tem ordenada positiva, conclui-se que .

c)  

A mediatriz de [AO] será uma recta paralela ao eixo das ordenadas e que contém o ponto médio do segmento. Por isso, uma condição que caracteriza essa recta é a equação .
Designando o ponto médio de [AC] por D, temos .
Como a abcissa de D não é , conclui-se que o ponto médio de [AC] não pertence à mediatriz de [AO].

d)  

Uma condição que caracteriza o domínio plano colorido (incluindo a fronteira) é:

2.  

a)  

Os vectores considerados não são colineares, pois não têm a mesma direcção, visto que as rectas OP e RQ não são paralelas.

b)  

Como , então a sua norma será .

c)  

O vector pedido é , onde .
Como , então .

 

3.  

a)  

As coordenadas pedidas são: , ,  e .

b1) ;
 ou ;
.

b2) As rectas   AD   e   FE   são não complanares.

As rectas  AD    e  AE   são concorrentes.

A recta   AD   é perpendicular ao plano   CDG  .

A intersecção dos planos CBF e ADG é         a  recta FG        .

b3) A distância de B ao plano yOz é   6   unidades e ao plano de equação  é   3   unidades.

c1) uma condição cartesiana que caracteriza a recta CD é: .

c2) uma condição cartesiana que caracteriza a face [BCGF] é: .

c3) uma condição cartesiana que caracteriza o plano mediador de [BF] é: .

d)  

São  e .

e)  

O centro da esfera é o ponto médio de [CG], de coordenadas , e o seu raio é .
Assim, a condição  define a esfera de diâmetro [CG].

f)   

A face [ABFE] é um rectângulo. Logo, o centro da face é o ponto de intersecção das suas diagonais, que se bissectam. Por isso, o centro dessa face é o ponto médio dos segmentos [AF] e [BE], cujas coordenadas são: .

g)  

Decompondo a cunha num paralelepípedo rectângulo e num prisma triangular recto, vem:

.
Portanto, a cunha tem 30 centímetros cúbicos de volume.

4.  

O plano HBQ intersecta o cubo inicial, assim como o cubo mais pequeno que lhe foi retirado, produzindo secções rectangulares com dimensões iguais à aresta e à diagonal facial do cubo respectivo.

Considerando a composição dessas duas secções e de acordo com os dados da figura acima, conclui-se que o perímetro pedido pode ser expresso, em função de a, por:

.

Note que .

 

FIM