Escola Secundária/3 da Sé-Lamego

Proposta de Resolução da Prova Escrita de Matemática A

 

1.ª Parte

 

 

 

 

2.ª Parte

1.  

a1)

Consideremos o triângulo [BGE]. Este triângulo é equilátero, pois os seus lados, sendo diagonais faciais do cubo, são geometricamente iguais. Assim, sendo equilátero o triângulo [BGE], também é equiângulo e, portanto, . Logo, a afirmação é verdadeira.

a2)

Por M e N serem os pontos médios das arestas [AE] e [DH], respectivamente, os segmentos de recta [MN] e [AD] são paralelos. Ora, a aresta [AD] é perpendicular à face [CDHG], logo a recta MN é perpendicular ao plano CDH. Assim, esta recta é perpendicular a todas as rectas desse plano, em particular à recta CN, concorrente com ela no ponto N. Deste modo conclui-se que é recto o ângulo MNC, pelo que é falsa a afirmação feita.

b)  

Os pontos M e B  são pontos quer do plano seccionador quer da face [ABFE]. Logo, o segmento [MB] é a secção feita nessa face. De forma análoga se conclui que o segmento [BG] é a secção feita na face [BCGF].
Como se sabe, um plano intersecta planos paralelos segundo rectas paralelas. Logo, o plano MBG intersecta os dois planos paralelos BCG e AEH segundo rectas paralelas. Assim, a secção feita na face [AEHD] é o segmento de recta [MT], paralelo ao segmento de recta [BG], dado que M é um ponto comum ao plano seccionador e à face [ADHE]. Por fim, dado que os pontos T e G são simultaneamente pertencentes ao plano seccionador e ao plano que contém a face [EFGH], a secção nesta face é o segmento [TG].

c)  

Os segmentos [CG], [EM] e [GE] são ,respectivamente, uma aresta, meia aresta e uma diagonal facial do cubo. Assim, ,  e .
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo rectângulo [MAC], vem
.

Assim, , c.q.m..

2.  

a)  

As coordenadas pedidas são: , ,  e .

b1)

As rectas   AB   e   EH   são não complanares.
As rectas  AB   e  BF   são concorrentes.
A recta  AB   é perpendicular ao plano   ADH  .
A intersecção do plano DFQ com o plano ABE é       a recta AF     .

b2)

A distância de B ao plano xOz é  3  unidades e ao plano de equação  é  5  unidades.

c1)

Uma condição cartesiana que caracteriza o plano PQE é .

c2)

Uma condição cartesiana que caracteriza o segmento de recta [FQ] é .

c3)

Uma condição cartesiana que caracteriza a face [ADHE] é .

d)  

Como R é um ponto de cota nula, então é um ponto do plano coordenado xOy. Consequentemente, a recta AR é uma recta do plano xOy, pois A pertence também a esse plano. A recta BF, perpendicular ao plano xOy, intersecta este plano no ponto B (não pertencente à recta AR), logo as rectas AR e BF não são concorrentes. Sendo a recta BF perpendicular ao plano xOy, então é perpendicular à recta AR, pois esta é uma recta deste plano. Mas estas rectas também não são paralelas, logo são não complanares.

Em conclusão, as rectas são perpendiculares não complanares.

e)  

 unidades de volume.

Ora,   e   (porquê?).
Considerando a altura relativa ao lado [PQ], no triângulo isósceles [PQC], temos:

.

Considerando que as faces do sólido são três faces do cubo, dois trapézios geometricamente iguais, um triângulo isósceles e um pentágono (cuja área é a diferença entre as áreas de um quadrado e um triângulo rectângulo), temos:

 unidades de área.

3.  

a)  

Comecemos por representar num referencial os três pontos considerados.
Uma condição que define o segmento de recta [AB] é .

b)  

O simétrico de C em relação ao eixo Oy  é o ponto .
Assim, terá de ser .

c)  

 

 

4.  

a)  

Com o frasco nesta posição horizontal, a figura definida pela superfície do líquido em repouso é a que se obtém no sólido apresentado seccionando-o com um plano horizontal à altura (h, em centímetros) a que se encontra o líquido no frasco. Quando , o plano referido secciona o cubo segundo um quadrado geometricamente igual à face do cubo, visto o plano ser paralelo à base. Quando , o plano intersecta agora a pirâmide regular. A secção é também um quadrado, visto o plano ser paralelo à sua base. Contudo, este quadrado é de menores dimensões que o obtido por secção no cubo, sendo tanto mais pequeno quanto maior for .

Concluindo: a figura definida pela superfície do líquido em repouso é sempre um quadrado, mas nem sempre os vários quadrados obtidos são geometricamente iguais. Logo, não será correcto afirmar que a figura definida pela superfície do líquido em repouso é sempre o “mesmo quadrado”.

b)  

Começando por determinar o volume do frasco, vem:

 centímetros cúbicos.

Quando o frasco está meio cheio, o líquido ocupa o volume de  cm³, que, sendo inferior ao volume do cubo, ocorrerá para uma altura inferior a 4 cm (correspondendo ao volume de um paralelepípedo rectângulo de base igual à base do frasco e altura h’ cm).

Assim, .

Nessa situação, a altura do líquido no interior do frasco será de 2,5 cm.

 

 

FIM