Escola Secundária/3 da Sé-Lamego

Proposta de Resolução da Prova Escrita de Matemática

 

1.ª Parte

 

 

2.ª Parte

1.  

a)  

Sendo H (-3, -3, 3) e V (3, 3, 1), então  é um vector director da recta HV.
Logo,  é uma equação vectorial dessa recta.

b)  

Sendo U (3, 1, 3) e V (3, 3, 1), então  e  (a)).
Logo,  e .

c)  

O plano mediador do segmento de recta [UV] é o conjunto de pontos P (x, y, z) do espaço equidistantes dos extremos do segmento.
Assim, terá de ser , donde:

 

Portanto,  é uma condição do plano pedido.
(Note que a condição poderia ter sido descoberta por visualização)

d)  

O volume do cubo é .
As 8 pirâmides obtidas pelas secções referidas são geometricamente iguais, podendo o volume de uma delas ser expresso em função de x:  (note que  ).
Assim, , (  ), c.q.m..

2.  

a)  

      Ora,  e , isto é, .
Portanto, é falsa a proposição . Isto é, j não é uma função par, pelo que o seu gráfico não pode ser simétrico relativamente ao eixo Oy.

b)  

      Ora, .

3.  

a)  

Dado que as coordenadas do vértice são (-2, 4), a função quadrática correspondente à parábola que contém a trajectória descrita pela bola é do tipo , com . (Porquê?)
Como a bola toca o chão no campo do jogador B a uma distância de 6 metros da rede, então .
Logo, .
Portanto, , , c. q. m..

b)  

O jogador bateu a bola na posição .
Como , o jogador bateu a bola a uma altura de 1,75 metros.

c)  

Começando por fazer a representação da função considerada e uma outra auxiliar , temos:

         

De acordo com o registado, temos .
Logo, durante a sua trajectória, a bola está a uma altura superior a 3 metros, entre as posições compreendidas a uma distância de 6 e 2 metros do plano da rede, respectivamente medidas no campo do jogador A e no campo do jogador B.

O que se confirma: .

Ou:
Ora,
Como   e como a função  tem por gráfico uma parábola com a concavidade voltada para cima, tendo dois zeros é negativa entre eles. Logo, podemos concluir que .

4.  

a)  

      Ora, .
Portanto, o gráfico de g é uma parábola com a concavidade voltada para cima, com vértice V (2, -2) e com eixo de simetria a recta vertical de equação .

Como
e , então o gráfico de g intersecta o eixo Ox nos pontos de coordenadas  e  e o eixo Oy no ponto de coordenadas .

b)  

Considerando que o gráfico da função , de domínio IR, é uma recta, quer as principais características do gráfico de g referidas na alínea anterior, podemos elaborar com facilidade uma representação gráfica da função h:

5.  

a)  

Ora, .

Construindo uma tabela de variação de sinal, tendo em consideração as propriedades das funções afim e quadrática, vem:

 

Logo, , pelo que .

b)  

      Se efectuarmos uma translação do gráfico de h associada ao vector  obtemos o 2.º gráfico da esquerda, sendo . Determinando o gráfico simétrico do da função r relativamente ao eixo Ox, obtemos o gráfico de s, sendo . Por último, t é tal que .

     
O gráfico de t intersecta os eixos coordenados nos pontos de coordenadas (2, 0) e (0, -2). Assim, podemos obter a equação da recta representada:  e , logo  é a equação dessa recta.
Desta forma, , ,  e, portanto,   (ou  ).

 

 

FIM