Escola Secundária/3 da Sé-Lamego

Proposta de Resolução da Prova Escrita de Matemática

 

1.ª Parte

 

 

2.ª Parte

1.  

a)  

Sendo H (-3, -3, 3) e V (3, 3, 1), então  é um vector director da recta HV.
Logo,  é uma equação vectorial dessa recta.

b)  

Sendo U (3, 1, 3) e V (3, 3, 1), então  e  (a)).
Logo,  e .

c)  

O plano mediador do segmento de recta [UV] é o conjunto de pontos P (x, y, z) do espaço equidistantes dos extremos do segmento.
Assim, terá de ser , donde:

 

Portanto,  é uma condição do plano pedido.
(Note que a condição poderia ter sido descoberta por visualização)

d1)

O volume do cubo é .
As 8 pirâmides obtidas pelas secções referidas são geometricamente iguais, podendo o volume de uma delas ser expresso em função de x:  (note que  ).
Assim, , (  ), c.q.m..

d2)

Fazendo a extensão do domínio de V a IR, estamos face a uma função polinomial cúbica, com apenas um zero (  ) e estritamente decrescente, como podemos verificar utilizando a calculadora gráfica:

   

Restringindo agora ao domínio de V, podemos verificar que o volume mínimo do cubo truncado é 180 unidades de volume e que ocorre para  (extremo superior do domínio de V):

            

 

Para , podemos constatar que os pontos U, V e X coincidem com os pontos médios das arestas a que pertencem. O mesmo acontece com os outros pontos correspondentes, nas 3 arestas concorrentes em cada um dos outros 7 vértices do cubo original.

Nesta posição extrema, as faces octogonais do cubo truncado, construídas em cada uma das faces do cubo original, passam a ser quadrados que, dois a dois, apenas possuem entre si um ponto comum (ponto médio duma aresta do cubo original); as restantes 8 faces do cubo truncado continuam a ser triângulos equiláteros, sendo cada um dos seus lados comum a um lado de três quadrados distintos.

Assim, as arestas do cubo truncado são em número igual ao total de lados destes 6 quadrados: .

2.  

a)  

      Ora,  e , isto é, .
Portanto, é falsa a proposição . Isto é, j não é uma função par, pelo que o seu gráfico não pode ser simétrico relativamente ao eixo Oy.

b)  

      Ora, .

3.  

a)  

Dado que as coordenadas do vértice são (-2, 4), a função quadrática correspondente à parábola que contém a trajectória descrita pela bola é do tipo , com . (Porquê?)
Como a bola toca o chão no campo do jogador B a uma distância de 6 metros da rede, então .
Logo, .
Portanto, , , c. q. m..

b)  

O jogador bateu a bola na posição .
Como , o jogador bateu a bola a uma altura de 1,75 metros.

c)  

Começando por fazer a representação da função considerada e uma outra auxiliar , temos:

         

De acordo com o registado, temos .
Logo, durante a sua trajectória, a bola está a uma altura superior a 3 metros, entre as posições compreendidas a uma distância de 6 e 2 metros do plano da rede, respectivamente medidas no campo do jogador A e no campo do jogador B.

O que se confirma: .

Ou:
Ora,
Como   e como a função  tem por gráfico uma parábola com a concavidade voltada para cima, tendo dois zeros é negativa entre eles. Logo, podemos concluir que .

4.  

a)  

                     Portanto,  e .

b)  

Ora;
                             Logo, , pelo que .

c)  

Se , então  possui dois zeros: 1 e 3. Consequentemente  é sucessivamente divisível por  e por , pelo que aplicando a regra de Ruffini, temos:

                                      Logo, . Consequentemente, .

Construindo uma tabela de variação de sinal, tendo em consideração as propriedades das funções afim e quadrática, vem:

 

Logo, , pelo que .

 

FIM