Escola Secundária/3 da Sé-Lamego

Proposta de Resolução da Prova Escrita de Matemática

 

1.ª Parte

 

 

 

2.ª Parte

1.  

a)  

O vector pedido é , onde .
(ver figura)

b)  

Sendo , vem
.

c)  

Observando a figura ao lado, constatamos (por exemplo) que .
Assim, as coordenadas do 4.º vértice são:
.

d)  

Os vectores dados serão colineares se e só se as suas coordenadas forem proporcionais.
Dado que  e , terá de ser , donde .

e)  

A mediatriz do segmento de recta [PR] é o conjunto de pontos do plano equidistantes dos extremos do segmento.
Assim, terá de ser , donde:

 

A equação reduzida da mediatriz de [PR] é .

 

2.  

a)   (Ver figura)

b)  

.
Nesse instante t, os carros distam um do outro cerca de 200 metros.

3.  

a)  

Elipse é o conjunto de pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos (focos) é constante e maior que a distância entre esses focos.

No traçado da elipse pelo “método do jardineiro”, prendem-se os dois extremos de um fio não elástico a dois pontos fixos (a medida do comprimento do fio deve ser superior à distância que separa os pontos) e, mantendo o fio sempre esticado, procede-se como é sugerido na figura.

Dada a simetria da elipse relativamente aos eixos V₁V₂ e V₃V₄, constata-se que o comprimento do fio é igual ao comprimento do eixo maior [V₁V₂] (considere a posição do fio quando desenha os pontos V1 ou V2). Por outro lado, quando se desenham os pontos V₃ e V₄ o fio reparte-se igualmente sobre as hipotenusas de dois triângulos rectângulos geometricamente iguais.

Sendo , conclui-se que deve ser mantida uma distância de 1,28 m entre os pregos e o fio a utilizar deve ter um comprimento (útil) de 1,60 m.

b)  

Ex.mo Senhor Malaquias

Pelo que me apercebi, o Sr. Malaquias não se recorda como se relaciona o comprimento do fio a utilizar com as “dimensões” do tampo da mesa, nem como fixar os pregos. Ora, o fio útil entre os pregos deve ter sempre comprimento igual à maior «dimensão» do tampo elíptico  a que nós chamamos eixo maior da elipse. No caso presente, o fio deve ter 1,60 m do comprimento. Quanto à distância entre os pregos, que é bem mais difícil de saber, deverá ser de 1,28 metros.

Já que recordou qual é o comprimento do fio que deve utilizar em cada situação, aproveito a oportunidade para lhe ensinar como pode fixar os pregos numa situação futura. Comece por desenhar os dois eixos da elipse (sim, o eixo menor corresponde à outra «dimensão» do tampo da mesa) que pretende desenhar e prenda o fio de comprimento adequado aos pregos, como já sabe. De seguida, dobre o fio ao meio, fixe a extremidade dobrada sobre um extremo do eixo menor e, esticando as duas pontas do fio presas aos pregos, faça com que eles fiquem sobre o eixo maior. É aí exactamente que deverá fixar os pregos.

Espero que este contratempo não tenha comprometido o prazo de entrega da encomenda.

Com os melhores cumprimentos e sempre ao seu dispor,

Fulano de Tal

4.  

a)  

,  e .

b)  

;                         ;
;               .

c)  

O plano mediador de [PR] pode ser definido por .

d)  

Como  e  será . Logo, .

e)  

Como , o raio da esfera é .
O seu centro é o ponto médio de [BV]: .
Portanto, a esfera considerada pode ser definida por .

f)   

O volume da pirâmide [EFHA] é  dm³.

O volume do cubo é  dm³.

O triângulo [PRQ] é rectângulo em P, pois  e .

Como  e , então a recta VQ é perpendicular ao plano EFG.

Assim, o volume da pirâmide [PQRV] é   dm³.

Portanto, o volume do sólido é  dm³.

 

FIM