Escola Secundária/3 da Sé-Lamego

Proposta de Resolução da Prova Escrita de Matemática

 

1.ª Parte

 

 

2.ª Parte

1.  

a1)

B (6, 9, 0); E (0, -3, 4) e G (6, 9, 4).

a2)

As rectas AB e HE são não complanares (p. e.). As rectas AB e BC são concorrentes (p. e.).
A recta AB é perpendicular ao plano BCF (p. e.). A intersecção do plano GFD com o plano ABH é a recta AG.

a3)

A distância de F ao plano xOz é 9 unidades e ao plano de equação  é 6 unidades.

a4)

Uma condição que caracteriza o plano que contém a face [ABGH] é: .

a5)

Uma condição que caracteriza a recta FG é: .

a6)

Uma condição que caracteriza a face [ADEH] é: .

b)  

A recta BG, paralela a Oz, é perpendicular ao plano xOy. Logo é perpendicular a todas as rectas desse plano e, em particular, à recta AP, visto que A e P, sendo dois pontos de cota nula, são pontos do plano xOy.

c)  

O raio da superfície esférica é .

Portanto,  define a superfície esférica de centro em A e que contém F.

d)  

Sendo P’ um ponto de AB, então a sua abcissa é 6. Assim, , visto ser .

Por outro lado, .

Assim, considerando o triângulo rectângulo [APP’], temos .

Logo, , c.q.m.

2.  

a)  

Como  e , a equação pedida será:

 

Ora, . Assim,  e .

b)  

A elipse é o conjunto de pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos (focos) é constante e maior que a distância entre os focos. Essa soma de distâncias, como se sabe, é igual ao comprimento do eixo maior. Portanto, tendo em consideração a propriedade reflectora da elipse, «qualquer» que seja a trajectória da bola nas condições enunciadas, o seu comprimento será de 2 metros.

Nota: Entende-se que essa qualquer direcção seria outra que não a «dirigida» ao outro foco (sem usar a tabela), por ser óbvia. Nessa situação, a bola descreveria uma trajectória com  metros (distância focal).

3.  

a)  

Como facilmente se observa, 5 das arestas da pirâmide são arestas do cubo, 2 são diagonais faciais do cubo e 1 é diagonal espacial do cubo.

Assim,  dm.

b)  

Como   e  , vem:

 

e

 

 

Assim,                                Logo, .

c)  

As 4 faces laterais da pirâmide são triângulos rectângulos. Com efeito, [ADE] e [CDE] resultam da divisão da face do cubo por uma sua diagonal; [ABE] e [BCE] são rectângulos em A e C, respectivamente, pois sendo AB perpendicular ao plano ADE é também perpendicular a AE, que é uma recta desse plano, o mesmo se passando com BC e CE.

Logo,  dm².

d)  

Ver figura, onde , pois um plano intersecta planos paralelos segundo rectas paralelas..

e)  

O volume pretendido é .

Dado que as faces da menor das pirâmides são semelhantes às correspondentes da pirâmide maior, sendo  a razão de semelhança, temos: .

Assim, para encher completamente o aquário terá de se acrescentar  litros de água.

4.  

a)  

Como Q é um ponto da circunferência, as suas coordenadas terão de verificar a equação da mesma.

Ora, .

Logo, Q (1, -4) e, portanto, P (1, 4), pois são simétricos relativamente a Ox.

b)  

Ora, .

Logo, a circunferência tem 5 unidades de raio e centro em C (-2, 0).

c)  

Uma condição que define a região sombreada, incluindo a fronteira, é .