O Cubo e o seu Dual

O princípio da dualidade estabelece que qualquer figura tridimensional constituída por vértices, arestas e faces, tem uma figura dual, cujas faces correspondem aos vértices da figura inicial e vice-versa. Assim, para qualquer poliedro existe o seu dual, mas só para os poliedros regulares é possível definir os duais recorrendo aos centros das faces. Facilmente se vê que o dual de um poliedro regular é outro poliedro regular e, por isso, é possível estabelecer relações interessantes entre os seus elementos.

Considera um cubo de aresta a e o seu dual.

a) Supondo que o octaedro foi intersectado por um plano que contém 4 dos seus vértices, quantas diagonais desse poliedro estão contidas nesse plano?

b) Que sólidos geométricos resultaram desse corte?

c) Escolhe um corte do cubo e do seu dual que te permita, facilmente, relacionar a aresta do cubo com a do octaedro. Representa essa secção no plano.
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d) Exprime em função de a:

d1) A aresta do octaedro;

d2) O raio da superfície esférica circunscrita ao octaedro.

e) Escolhe um corte do cubo e do seu dual que te permita, facilmente, determinar a medida da amplitude do diedro formado por duas faces do octaedro. Representa no plano essa secção.
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f) Determina a medida da amplitude desse diedro.

g) Qual a relação entre o volume do cubo e do seu dual?

Sugestão: Determina em função de a o volume de um dos sólidos geométricos obtidos em b).