Escola Secundária da Sé-Lamego
Ficha de Trabalho de Matemática
Ano Lectivo 2002/03 Relações métricas entre figuras e poliedros 10.º Ano
Observe atentamente as figuras e, sempre que
possível e necessário, construa os modelos representados para encontrar com
mais facilidade as respostas às perguntas formuladas.
Em cada caso tente fazer uma breve descrição do modo como procedeu e da
sequência de raciocínio que o conduziram às diversas respostas.
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1.
O triângulo [ABC] é
rectângulo em A.
Mostre que a área sombreada é igual à área do triângulo.
Pode então concluir que nem sempre
aparece para calcular áreas de figuras em que
intervêm círculos.
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2. Suponhamos que pretendemos planear um monumento a Euclides com a forma de uma pirâmide regular invertida, cuja base seja um quadrado e as outras faces sejam triângulos equiláteros em folha de metal, sendo posteriormente as faces soldadas e pintadas.
Deseja‑se
que ela seja o maior possível, mas dispõe‑se unicamente de uma folha de metal
quadrangular com 6 metros de lado.
Propõem‑se dois métodos possíveis para a sua construção.
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a) Primeiro método:
Designe por a o lado do quadrado que
forma a base da pirâmide.
Calcule e verifique que .
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b) Segundo método:
Designe por a o lado do quadrado que
forma a base da pirâmide.
Calcule e verifique que .
c) Faça as duas construções. Qual é o método mais vantajoso?
d) Consegue encontrar um método ainda melhor?
e)
Terceiro método:
Considere o método apresentado nas soluções. Verifique que .
f) Mostre que o volume (em m3) da pirâmide considerada no primeiro método é dado por .
g) Designando por e , respectivamente, os lados do quadrado nos 1.º e 3.º métodos, mostre que .
h)
Relacione, justificando, os volumes das pirâmides obtidas
nos primeiro e terceiro métodos ( e ).
Determine o valor exacto de (em m3).
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3. Observe atentamente a figura ao lado.
a)
As quatro diagonais do cubo permitem decompô‑lo em
pirâmides regulares de base quadrada.
Relacione o volume de cada uma delas com o volume do cubo.
b) Se «voltássemos o sólido para fora», obtínhamos um novo sólido - o dodecaedro rômbico (ver figura do livro, página 46). Qual é o seu volume?
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4. Considere o cubo [ABCDHEFG] e a pirâmide [ABCDH] representados na figura ao lado.
Relacione o volume da pirâmide com o volume do cubo.
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5. Considere o cubo [ABCDEFGH] representado na figura ao lado.
a)
Mostre que [BDHF] é um
tetraedro regular.
Como são as suas faces?
b) Quantas pirâmides congruentes com [ABHD] se encaixam com o tetraedro [BDHF] perfazendo o cubo?
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c) Relacionando os volumes do tetraedro e das pirâmides com o
volume do cubo, calcule o volume do tetraedro em função da aresta a do cubo.
O volume do tetraedro que fracção é do volume do cubo?
d) Calcule o volume do tetraedro em função de .
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6. Cortando um tetraedro regular [ABCD] por planos paralelos às faces que passem pelos pontos médios das arestas, obtém‑se um octaedro regular (ver figura ao lado).
Compare o volume do octaedro com o do tetraedro original.
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7. Na figura ao lado, considere o cubo [ABCDEFGH].
Sejam T, J, K, M e N os centros das faces do cubo.
a) Prove que [TJKLMN] é um octaedro regular.
b) Seja , calcule em função de a.
c) Mostre que o quadrilátero [JKLM] é um quadrado e que o plano JKL é o plano mediador de [TN]. Seja O o ponto de intersecção de TN com o plano JKL. Que representa O para o quadrado [JKLM]?
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Nota: Chama‑se plano mediador de um segmento de recta [AB] ao
plano perpendicular a [AB] que
contém o ponto médio deste segmento.
Consequentemente, qualquer ponto P do plano mediador está à mesma distância de
A e de B.
d) Calcule o volume da pirâmide [TJKLM] em função de a.
e) Calcule o volume do octaedro regular e compare‑o com o volume do cubo.
f) Compare o volume do octaedro com o volume do tetraedro referido no exercício 5.
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8. Considere o cubo [ABCDEFGH], representado na figura ao lado.
Sendo W, X, Y, V, Q
e Z tais que:
,
como escolher x para que [WXYVQZ] seja
um octaedro regular?
Calcule então a medida da sua aresta em função da aresta do cubo.
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SOLUÇÕES
e)
h) ; .
a) O volume de cada uma das pirâmides é um sexto do volume do cubo.
b) Duplo do volume do cubo.
4. O volume da pirâmide é um terço do volume do cubo.
b) Quatro pirâmides.
c) ; ; .
d) .
6. Dado que a medida da aresta [AE] é metade da medida da aresta [AB, o volume do tetraedro [EBFI] será do volume do tetraedro [ABCD]. Como há quatro tetraedros congruentes com o tetraedro [EBFI], podemos concluir que .
b) .
d) .
e) .
f) É metade do volume desse tetraedro.
