Escola Secundária da Sé-Lamego

Ficha de Trabalho de Matemática

 

 

 

1.    Na figura ao lado está representado um tetraedro e duas rectas, t e t’.
A recta t é paralela à recta BC e contém o ponto A.
A t’ é paralela à recta AB e contém o ponto C.
Qual é a posição relativa das rectas t e t’?

Sugestão:   Duas rectas paralelas definem um plano.

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2.    Considerando as indicações da perspectiva cavaleira, identifique o erro que se cometeu ao representar a figura.

    e    .

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3.    Na figura, as rectas r e s intersectam‑se no ponto A e intersectam o plano , respectivamente, nos pontos P e P’.

      Desenhe a recta CB, respeitando as indicações da perspectiva cavaleira.

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4.    Considere o cubo [ABCDEFGH], sabendo que M é um ponto da aresta [AD].

a)    Desenhe a secção produzida no cubo pelo plano EGM.

b)   Calcule o perímetro da secção sabendo que  e a aresta do cubo tem 2 cm de comprimento.

 

 

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5.    Observe a figura seguinte que representa um tetraedro [ABCD] e E e F são dois pontos de duas das suas arestas.

a)    As rectas BC e EF são complanares? Justifique.

b)   Indique dois planos secantes definidos por pontos da figura e a respectiva recta de intersecção.

c)    Os pontos A, B, C e D quantos planos definem?

d)   Desenhe a secção do tetraedro produzida por um plano paralelo ao plano BCD e que contenha o ponto F.

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6.    Por um ponto P traçam‑se duas rectas, r e s, tais que r^t e s^t, sendo t uma terceira recta.
Qual a posição do plano definido pelas rectas r e s em relação a t?

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7.    Trace, em cada um dos casos, a intersecção do plano PQR com as faces dos sólidos seguintes:

            

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8.    O tetraedro regular da figura tem a base [BCD] contida no plano . Os pontos M e N são os pontos médios, respectivamente, das arestas [AB] e [AC]; PÎ[AD] e P não é o ponto médio de [AD].

a)    Mostre que BC é paralela ao plano MNP.

b)   Justifique que é verdadeira a afirmação: “PN e CD intersectam‑se num ponto de .”

c)    Quantos planos há paralelos ao plano MNP e passando por BC? (Porque razão  não pode ser paralelo ao plano MNP?)

d)   Desenhe a recta de intersecção do plano MNP com o plano BCD.

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9.    Um recipiente cúbico de aresta 6 dm está furado em três pontos (um vértice e dois pontos médios de duas arestas) como mostra a figura.
Poder‑se‑ão deitar no recipiente 180 litros de líquido sem perigo da cuba pingar?

Sugestão:   A capacidade do recipiente furado será máxima quando o plano ABC for horizontal e o sólido de maior volume ficar por baixo deste plano.

Determine a secção obtida no cubo por esse plano e comprove que poderá considerar um conjunto de três sólidos: o cubo e duas pirâmides.

Relacione os seus volumes e conclua (qual é a razão de semelhança entre as duas pirâmides?).

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10. Um cubo [ABCDEFGH] está "assente" no plano a.

·     A recta r contém o ponto F e intersecta o plano a no ponto J;

·     AÎs  e  HÎs.

a)    Indique dois planos dos quais s é a intersecção.

b)   Indique 3 pontos do plano mediador de [AC].

c)    Qual é a posição relativa das rectas s e JB? Justifique.

d)   Mostre que a intersecção dos planos a e AFJ é a recta JA.
Desenhe essa recta, respeitando as indicações da perspectiva cavaleira.

e)   Determine a secção plana que se obtém ao seccionar o cubo pelo plano AFJ.
Justifique, de forma muito sucinta, as construções efectuadas.

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11. A figura ao lado representa um tetraedro. Os pontos P e Q são pontos das arestas [BD] e [DA], respectivamente. As rectas PQ e BA intersectam‑se em R.

a)    Justifique que a intersecção dos planos CPQ e ABC é a recta CR.

b)   Determine a secção plana que se obtém ao seccionar o tetraedro pelo plano MPQ, sendo MÎ[ABC]. Justifique de forma sucinta as construções que efectuou.

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12. M é um ponto de [AD], N é um ponto de [AC] e P um ponto de [BC].
Pretende‑se determinar a intersecção do plano MNP com o tetraedro.
Eis duas figuras. O que pensa delas?

 

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13. M é um ponto de [AD], N um ponto de [AC] e P um ponto de [AB], distintos dos vértices do tetraedro.
Eis uma figura. Observe‑a.

a)    A que questão responde?

b)   Redija a demonstração.

c)    As rectas MN e DC intersectam‑se em K. Que pode dizer dos pontos I, J,K?

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14. O cubo [ABCDEFGH] tem por aresta a e os pontos I e J são centros de faces.

a)    Calcule o comprimento de [IJ], em função de a.

b)   Calcule o comprimento de [AI] e o comprimento de [AJ], em função de a.

c)    Determine a secção feita no cubo pelo plano AIJ.

Sugestão:   Recorra a um cubo auxiliar justaposto ao dado pela face [BCGF] e repare que [AJ] é metade da diagonal do paralelepípedo obtido.

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SOLUÇÕES

1.   Sabemos que duas rectas paralelas definem um plano.
As rectas t e BC são paralelas, portanto definem um plano. Este plano é o plano da face [ABC] do tetraedro. A recta t’ é paralela a AB, logo estas rectas definem um plano. Este plano é o plano da face [ABC] do tetraedro.
Logo as rectas t e t’ são complanares e concorrentes.

 

2.   A recta AP pertence ao plano da face [ABC] do tetraedro. Como a face é visível, a recta deve ser representada a cheio.

 

3.   

    

4.     

a)   

b)   (  ) cm.

5.  

a)    O plano definido pela recta BC e pelo ponto F é o plano da face [ABC] do tetraedro. O plano definido pela recta BC e pelo ponto E é o plano da face [BCD] do tetraedro. Como as faces não pertencem ao mesmo plano, as rectas BC e EF não são complanares.

b)   Por exemplo: os planos ABD e BCD são secantes e a recta de intersecção é a recta BD.

c)    Quatro planos: os planos que contêm as 4 faces do tetraedro.

d)    

 

6.    A recta t é perpendicular ao plano definido pelas rectas r e s, pois é perpendicular a duas rectas concorrentes desse plano.

 

7.             

 

8.     

a)    Sendo o tetraedro regular, se M e N são os pontos médios das arestas a que pertencem, vem MN//BC. Logo, como no plano MNP existe uma recta paralela à recta BC, o plano MNP é paralelo a esta recta.

b)   PN e CD são rectas complanares e concorrentes, então intersectam‑se num ponto que pertence a CD e a , pois CDÎ  (CD é a intersecção dos planos ACD e  ).

c)    Um plano.
Se  e MNP têm um ponto comum (PN intersecta  ), então não podem ser paralelos.

d)   A recta de intersecção é r (ver figura).

 

 

9.    É possível deitar 180 litros neste recipiente (teoricamente) nas condições dadas visto a sua capacidade máxima ser de 184,5 litros.
(Volume da pirâmide maior: 36 litros; Volume da pirâmide menor: 4,5 litros)

 

 

10.  

 

a)    A recta s é, por exemplo, a intersecção dos planos AHG e AHE.

b)   B, D e G são 3 pontos do plano mediador de [AC].

c)    A recta s é perpendicular ao plano a, logo é perpendicular a todas as rectas de a. Como JB é uma recta desse plano, então s é perpendicular a JB.

d)   O ponto A é ponto comum aos planos a e AFJ; o ponto J é também ponto comum aos mesmos planos. Como A e J são distintos e simultaneamente comuns aos planos a e AFJ, então a recta JA é a intersecção desses planos.

e)   Da alínea anterior, conclui‑se que [AP] é a intersecção do plano seccionador com a face [ABCD] do cubo.
A secção na face [BCFG] é o segmento [PF], pois F é comum a essa face e ao plano seccionador.
Como um plano intersecta planos paralelos segundo rectas paralelas, as seccções nas outras duas faces são os segmentos [FQ] e [QA], sendo [FQ] // [PA] e [QA] // [FP].
A secção plana que se obtém ao seccionar o cubo pelo plano AFJ é o paralelogramo [APFQ].

 

 

11.  

a)    O ponto R pertence simultaneamente aos planos CPQ e ABC, pois é a intersecção das rectas PQ, pertencente ao plano CPQ, e BA, que é uma recta do plano ABC. O ponto C é um ponto do plano CPQ e também um ponto do plano ABC. Deste modo, os pontos R e C, distintos e simultaneamente pertencentes a esses dois planos, definem a recta CR que é a intersecção dos planos CPQ e ABC.

b)   Por raciocínio análogo ao da alínea anterior, conclui‑se que a recta RM é a intersecção dos planos MPQ e ABC (Note que M pertence simultaneamente aos planos MPQ e ABC). Esta recta, RM, intersecta as arestas [AC] e [BC] nos pontos S e T, respectivamente. Deste modo, o quadrilátero [PQST] é a secção plana que se obtém ao seccionar o tetraedro pelo plano MPQ.

 

 

12. A construção na figura da esquerda está errada. A construção na figura da direita está correcta.

 

 

13.  

a)    A construção corresponde à determinação da intersecção dos planos MNP e BCD (recta IJ).

b)   As rectas MP e DB do plano ADB intersectam‑se no ponto J. Logo, J é ponto comum dos planos MNP e BCD, pois as rectas referidas são uma de cada um dos referidos planos.
As rectas NP e BC do plano ABC intersectam‑se no ponto I. Logo, I é ponto comum dos planos MNP e BCD, pois as rectas referidas são uma de cada um dos referidos planos.
Assim, a recta IJ é a recta de intersecção dos planos MNP e BCD.

c)    Os pontos IJK são colineares, pois K é também um ponto comum dos planos MNP e BCD.

 

 

14.  

a)   

b)  

c)