Escola Secundária/2,3 da Sé-Lamego

Proposta de Resolução da Ficha de Trabalho do GAVE

 

1.  
Ora,

     

     

     

      Conclui-se que X, Y e Z são, respectivamente, os pontos médios dos segmentos de recta [BD], [DE] e [BE].
Consequentemente, .

2.  

a)  
Como os lados [BC] e [OE] são paralelos, então .
Como os lados [CD] e [AO] são paralelos, então .
Logo, .

      Sendo  e os lados [BC] e [OE] paralelos e iguais, então .

      Sendo  e os lados [CD] e [AO] paralelos e iguais, então .

b)  
Sendo M o ponto simétrico do ponto  em relação ao eixo Oy, então .

      O ponto N é o ponto de intersecção das rectas AM e OD, pois pertence a ambas as rectas.

      Como o declive da recta AM é  e a ordenada na origem é , então  é a equação reduzida dessa recta.

      Como o declive da recta OD é  e a ordenada na origem é , então  é a equação reduzida dessa recta.

      Assim temos:

      .                   Logo, .

c)  
Como , então  é uma equação vectorial da recta ED. Assim, a condição  define o segmento de recta [ED].

      Alternativa 1:
Sendo , então a equação reduzida da recta ED é da forma .
Dado que o ponto E pertence a essa recta, as suas coordenadas têm de verificar esta equação.
Assim, temos: . Portanto,  é a equação reduzida da recta ED.

      Portanto, a condição  define o segmento de recta [ED].

      Alternativa 2:
Da equação vectorial indicada acima, resulta:

.

Portanto,  é a equação reduzida da recta ED.

      Portanto, a condição  define o segmento de recta [ED].

d)  
A condição  define o conjunto de pontos que constituem o interior do hexágono.

3.  

a)  
Ora, .

      Como os pontos A e C são simétricos em relação à origem do referencial, as suas coordenadas são simétricas. Logo, sendo , será e, portanto, .

      Assim, vem  e, portanto,  e .

b)  
Ora, .

c)  
Sendo , então a equação reduzida da recta AB é da forma .
Dado que o ponto A pertence a essa recta, as suas coordenadas têm de verificar esta equação.
Assim, temos: . Portanto,  é a equação reduzida da recta AB.

      Então, .
Designando por E a projecção ortogonal do ponto A sobre o eixo Oy, temos: .

d)  
O centro da circunferência é o ponto médio do segmento de recta [AB]: .
O raio desta circunferência é .
Como , a origem do referencial é interior à circunferência considerada.

4.  

a)  
Relativamente à equação da recta r, para , vem . Logo, .
Relativamente à equação da recta s, para , vem . Logo, .
As rectas r e s intersectam-se em .

      Assim, .

b)  
O vector dado, por as suas coordenadas serem ambas positivas, apenas pode ser paralelo ao lado [AB]. Logo, o declive da recta r é .

      Assim, .

      Portanto, sendo ,  e , vem:
.

c)  
Para  e , temos:
r: , s: , , e .

      Seja P o ponto de intersecção dos segmentos de recta [BO] e [A’C’].

      Se a área do trapézio é  da área do triângulo [ABC], então a área do triângulo [A’BC’] é  da área do triângulo [ABC].
Tendo em consideração a semelhança de triângulos, temos: . Dado que , então  e, portanto, . Como A’ e C’ são também pontos de ordenada 6 e pertencem, respectivamente, às rectas r e s, então  e .

5.  

a)  
Ora,

e


Logo, por (1) e (2), conclui-se que o quadrilátero [PQRS] tem os lados opostos paralelos (e de igual comprimento), pelo que é paralelogramo.

b)  
Ora,
;
;
;
.

6.  

a)  
Ora,
;
.

b)  
Como o declive da recta AB é , então a equação reduzida da recta AB é da forma . Dado que o ponto B pertence a essa recta, as suas coordenadas têm de verificar esta equação. Assim, temos: . Portanto,  é a equação reduzida da recta AB.

      Como o declive da recta BC é , então a equação reduzida da recta BC é da forma . Dado que o ponto B pertence a essa recta, as suas coordenadas têm de verificar esta equação. Assim, temos: . Portanto,  é a equação reduzida da recta BC.

      Como o declive da recta AC é , então a equação reduzida da recta AC é da forma . Dado que o ponto A pertence a essa recta, as suas coordenadas têm de verificar esta equação. Assim, temos: . Portanto,  é a equação reduzida da recta BC.

      Logo, a condição  define analiticamente o triângulo [ABC].

c)  
Decorridos cinco minutos, o ponto que se desloca sobre a semi-recta ocupa a posição:
.

      Decorridos cinco minutos, o ponto que se desloca sobre a semi-recta ocupa a posição:
.

      Como , então, cinco minutos depois de iniciarem o seu deslocamento, os dois pontos encontram-se a uma distância de 6 cm.

7.  

a)  
As equações reduzidas das rectas desenhadas são:

      r:
s:
t:

b)  
Ora, .

Para que o ponto de coordenadas  não pertença a A terá de ser .

 

 

 

 

8.  

a)  
Os pontos X, Y e Z estão representados na figura ao lado.
X é o ponto da semi-recta  tal que , Y é o ponto médio de [HG] e Z é o ponto médio de [BG].

b)  
Se X pertence ao plano mediador do segmento de recta [BW], então .

      Como  e , temos:


Esse lugar geométrico dos pontos W é a superfície esférica de centro no ponto X e que contém o ponto B.

c)  
Sendo  e , uma equação vectorial da recta XD é .
Dado que das equações vectoriais das duas rectas resulta:

             e              ,               vem:

      Portanto, o ponto de intersecção das duas rectas é o ponto de coordenadas .

d)  
Na figura ao lado, está representada a secção produzida no cubo pelo plano EYZ.

      O volume pedido é o volume de um tronco da pirâmide [CEFV]. Dado que as duas pirâmides [CEFV] e [ZYGV] são semelhantes, com razão de semelhança , então .

      Assim, temos:

9.  

a)  
Ora, ,  e .

      O ponto T é a intersecção da recta AB com a recta que contém o ponto S e é paralela à recta PQ.
Uma equação vectorial desta recta é ,
donde .
A recta AB pode ser definida por .
Assim, vem:

      .                   Logo, .

      O ponto R é a intersecção da recta CD com a recta que contém o ponto Q e é paralela à recta PT.
Uma equação vectorial desta recta é ,
donde .
A recta CD pode ser definida por .
Assim, vem:

      .                   Logo, .

b)  
Uma equação vectorial da recta PQ é ,
donde .
O plano xOz pode ser definido por .

      Assim, vem:

      .                                Logo, .

      Assim, .

 

      Alternativa para a determinação das coordenadas do ponto I:

As coordenadas do ponto I são da forma .
Considerando a semelhança dos triângulos [QEI] e [PFI], temos:

      . Logo, .

10.

a)  
Ora,
;
;
;
.

b)  
.

c)  
A condição  define a aresta [AB].

d)  
Como o prisma é regular, o centro dessa superfície esférica é o ponto de intersecção das suas diagonais espaciais, que se bissectam: .
O raio da superfície esférica é .
Portanto, a condição  define essa superfície esférica.

e)  
A secção produzida no prisma pelo plano ABG é o rectângulo [ABGH], logo a sua área é:
.

f)   
O plano DBF é o plano mediador do segmento [AC], isto é, o lugar geométrico dos pontos  equidistantes de  e .

      Assim, vem:

               

 

      Portanto,  é uma equação do plano DBF.

 

 

FIM