Escola Secundária/2,3 da Sé-Lamego

Proposta de Resolução da Ficha de Trabalho do GAVE

 

1.  

a)  
Comecemos por determinar as coordenadas dos pontos A e B:

Portanto,  e .

Os pontos D e C possuem ordenadas inferiores a 5 e abcissas iguais às dos pontos A e B, respectivamente, já que as rectas AD e BC são perpendiculares à recta AB. Assim, temos:

Portanto,  e .

b)  
Determinemos as coordenadas dos pontos de intersecção da circunferência com o eixo Oy:

     

      Esses pontos são  e .

      Dado que , então as cordas [AB] e [EF] são geometricamente iguais. Logo, as áreas consideradas são iguais, pois são delimitadas por cordas geometricamente iguais da mesma circunferência.

c)  
Uma condição que define a região considerada é: .

2.  

a)  
O ponto C (e G também) possui abcissa nula, logo:

Portanto,  (e ), c.q.m..

Como a corda [CD] é paralela ao eixo Ox, o ponto D tem a mesma ordenada que o ponto C. Assim, temos:

     

      Logo, , c.q.m..

b)  
A mediatriz do segmento de recta [AD] é o lugar geométrico dos pontos  do plano coordenado equidistantes de  e . Assim, vem:

      A equação da mediatriz de [AD], na forma pedida, é .

c)  
Uma condição que define a região considerada é: .

d)  
.

e)  
Como um losango tem os lados iguais, então .
Como os lados opostos de um losango são paralelos, então [DE] é também paralelo ao eixo Oy.

Assim,  e .

      Logo, .

3.  

a)  


Portanto,  e .

b)  
Seja  o ponto médio do segmento de recta [AB].

Ora, .
Portanto, metade da área do triângulo [ABC] é um valor aproximado de  com erro inferior a 0,01.

4.  

a)  
A mediatriz do segmento de recta [AB] é o lugar geométrico dos pontos  do plano coordenado equidistantes de  e . Assim, vem:

      Uma equação da mediatriz de [AB] é .

Como a ordenada de P é dupla da abcissa e P é um ponto da recta m, mediatriz de [AB], vem:

     

      Logo, .

b)  

5.  

a)  
Considerando , com , será , com .
Logo,  e , com .

      Assim, considerando que  e que é rectângulo em O, temos:

     

      Logo,  e .

b)  
As semi-rectas  e  são perpendiculares. Logo, o ângulo inscrito AOB é recto, pelo que o arco AB tem 180º de amplitude. Portanto, [AB] é um diâmetro da circunferência.

d)  
Ver figura à direita.

c)  

     

6.  
Sendo  e , então .
Considerando que , vem .
Dado que a condição  impõe que , já que , então , com .

7.  

a)  
.

b)  
O plano mediador da diagonal espacial [OA] é o lugar geométrico dos pontos  do espaço equidistantes de  e .
Assim, vem:

     

c)  
Uma condição que define a face do prisma contida no plano xOz é:

d)  
Consideremos a secção produzida na esfera pelo plano de equação , representada na figura ao lado.
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo rectângulo [RST], vem:

      Deste modo, a esfera tem de raio 10 unidades e centro em .

      Assim, a condição  define o sólido que é parte da esfera.

8.  

a)  
O centro da superfície esférica é  e o raio é .
Logo,  é uma equação dessa superfície esférica.

      Seja  o ponto genérico de coordenadas iguais que pertence a essa superfície esférica. Deste modo, as coordenadas desse ponto terão de verificar a equação anterior:

      Portanto, esses dois pontos são  e .

b)  
Determinemos as coordenadas do ponto médio do segmento [Q₁Q₂]: .
Dado que o ponto médio do segmento [Q₁Q₂] é o centro da superfície esférica, então o segmento de recta cujos extremos são os pontos da superfície esférica que têm as três coordenadas iguais é um diâmetro dessa superfície esférica.

      Alternativa: Mostre que , isto é, .

c)  
A diagonal espacial do cubo inscrito nessa superfície esférica é um diâmetro dessa superfície esférica.
Dado que o comprimento da diagonal espacial de um cubo é  vezes superior ao comprimento da sua aresta, isto é, , então o comprimento da aresta desse cubo é: .
Logo, o volume desse cubo é  (unidades de volume).

9.  

a)  
Para P pertencer ao 3.º octante (não incluindo os planos coordenados) terá de ser:

b)  
Uma equação da superfície esférica considerada é .
Para que o ponto P pertença à superfície esférica, as suas coordenadas terão de verificar a equação dessa superfície esférica. Assim, será:

c)  
Como Q é o ponto simétrico do ponto P, em relação ao eixo das ordenadas, então .

      Ora, .

      Como , então a área desse quadrado é  (u.a.).

10.

a)  
Ora,

     

      Portanto, a superfície esférica considerada tem vértice em  e raio  unidades.

      Como a pirâmide é regular, o centro da base [OABC] é  e ,  e .

      A altura da pirâmide é:

      Portanto, o seu volume é  (u.v.).

b)  
Como , então a razão r_s entre os comprimentos das arestas correspondentes é tal que , donde . Assim, D, E, F e G são os pontos médios das arestas laterais da pirâmide [VOABC].
Logo, , ,  e .

c)  
O diâmetro considerado dessa esfera tem por extremos os centros das bases das duas pirâmides, ou seja,  e . Por isso, essa esfera tem raio  e centro no ponto médio do segmento de recta [V’V’’], .

      Assim, a condição  define a esfera considerada.

d)  
A linha descrita pelo ponto V quando a pirâmide dá uma volta completa em torno da aresta [AO] é uma circunferência com centro no ponto A’, ponto médio do segmento de recta [AO], e raio [VA’].

      Ora,  e .

      Essa circunferência pode ser definida pela intersecção da superfície esférica de centro e raio anteriormente referidos com o plano que contém o ponto A’ e é paralelo ao plano coordenado yOz:

11.

a)  
Designando por d o comprimento da diagonal facial do cubo, vem:

      Logo, o comprimento da aresta do cubo é , c.q.m..

b)  
As coordenadas dos vértices do cubo são: , , , , , ,  e .

c1)
A condição  define analiticamente a aresta [DH].

c2)
A condição  define analiticamente a base inferior do cilindro.

d)  
Nas figuras ao lado estão representadas duas vistas (de cima e lateral direita) da secção produzida no sólido (dois rectângulos justapostos) pelo plano considerado.

      O plano seccionador determina nas bases do cubo dois segmentos de recta ([P1Q1] e [P2Q2]), tais que  (Tenha em consideração a semelhança dos triângulos [BPQ] e [BAC]).

      Por outro lado, .

      Assim, a área da secção determinada pelo plano considerado é:

 

 

FIM