Escola Secundária/2,3 da Sé-Lamego

Proposta de Resolução da Ficha de Trabalho do GAVE

1.  

a)  
Ora, , c.q.m..

b)  
Tendo em consideração que os três triângulos rectângulos [ABC], [ABD] e [BCD] são semelhantes, vem:

;

 e, consequentemente, .

c)  
Como os triângulos [APQ] e [ADB] são semelhantes, vem:

.

Considerando a semelhança dos triângulos [CRS] e [BCD], vem:

.

d)  

d1)  
Como o ponto P se desloca sobre [AD], nunca coincidindo com A, nem com D, então .

d2)  
Ora,
   

d3)  
Ora, .

O gráfico de f é um arco de parábola, com a concavidade voltada para baixo, cujo vértice é .
Logo, o rectângulo de maior área é obtido para .
Assim, as suas dimensões são:  e .

e)  

e1)  
Como o ponto P se desloca sobre [AD], nunca coincidindo com A, nem com D, então .

e2)  
Ora,
   

e3)  
O gráfico está representado ao lado.
(Note que as bolas são abertas.)

e4)  
.

2.  

a)  
Como o ponto P se desloca sobre [CB], nunca coincidindo com o ponto C, nem com o ponto B, então .

b)  
Dado que os triângulos [CPQ] e [ABC] são semelhantes, então ambos são rectângulos isósceles.

Assim, vem:
               

c)  
Ora, .

O gráfico de f é um arco de parábola, com a concavidade voltada para baixo, cujo vértice é .
Logo, o máximo da função é 8, obtido para .
Esse triângulo é rectângulo isósceles, pois, para , tem-se  (ver figura).

d)  
Ora,
               
Determinemos os zeros da função auxiliar g, de domínio : .
O gráfico de g é uma parábola, com a concavidade voltada para cima. Logo, .
Assim, , pois .

3.  

a)  
Partindo do gráfico de , obtém-se o gráfico de  por translação associada ao vector .
O gráfico de  obtém-se do gráfico de  por simetria em relação ao eixo Ox.
Finalmente, o gráfico de  obtém‑se do gráfico de  por translação associada ao vector .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b)  
Ora,
               

c)  
Ver representação gráfica ao lado, onde .

 

4.  

a)  
Como , então .
Como , então .
Como o ponto P se desloca sobre [AB], nunca coincidindo com o ponto B, então .

b)  
Ora, , com .
Dado que , então .
Designando por T o ponto médio de [PQ], temos: , com .
Assim, vem: .

c)  
Ora, .

O gráfico de h é um arco de parábola, com a concavidade voltada para baixo, cujo vértice é .
Logo, o maximizante da função é .
Portanto, o rectângulo de maior área tem as dimensões:  e .

 

 

5.  

a)  
Ver gráfico da esquerda.

b)  
Ver gráfico da direita.

c)  
Relativamente ao gráfico de f, sabemos que o vértice da parábola é  e que contém o ponto , por exemplo.
Assim, a função pode ser definida por uma expressão da forma .
Dado que o ponto A pertence ao seu gráfico, então as suas coordenadas têm de verificar a expressão anterior. Assim, temos: .
Logo, a função pode ser definida por .

Relativamente ao gráfico de g, sabemos que o vértice da parábola é  e que contém o ponto , por exemplo.
Assim, a função pode ser definida por uma expressão da forma .
Dado que o ponto O pertence ao seu gráfico, então as suas coordenadas têm de verificar a expressão anterior. Assim, temos: .
Logo, a função pode ser definida por .

6.  

a)  
Para  e  obtém-se uma parábola geometricamente igual à considerada, com vértice na origem do referencial e Oy como eixo de simetria. Essa parábola pode ser definida por .
Desta forma, o ponto C tem as coordenadas .
Logo, , pois .

b)  
Ora, .
A parábola tem por vértice o ponto , sendo ,  e .
Assim, como , temos:
;
;
;
.

c)  
Sendo  e , então .
Logo, , pelo que .
O vértice da parábola é o ponto médio de [AD]: . Logo,  e .
Assim, a função pode ser definida por .

7.  

a)  
Ora, .
Logo, a parábola tem por vértice o ponto .

A equação reduzida da recta r é da forma . Como  é um ponto dessa recta, então . Portanto, a equação reduzida da recta r é .

A equação reduzida da recta t é da forma . Como  é um ponto dessa recta, então . Portanto, a equação reduzida da recta t é .

 

Determinemos as coordenadas dos pontos de intersecção das rectas com a parábola:



Portanto,  e .

Ora, ,  e .

Como  ( ), então o triângulo [ABC] é rectângulo em B.

b)  
O eixo de simetria da parábola é a recta de equação .
O declive da recta BC é .
Logo, a equação reduzida da recta BC é da forma . Como  é um ponto dessa recta, então . Portanto, a equação reduzida da recta BC é .

O ponto D pertence a esta recta e tem abcissa 3. Logo, a ordenada desse ponto é .
Portanto, .

Designando por C’ a projecção ortogonal do ponto C sobre a recta de equação , temos:
.

c)  
A recta de equação  contém o vértice  da parábola que é o gráfico de f.
Portanto, .

 

 

 

 

 

 

 

8.  

a)  
Ora, .
Logo, a bola passa a barreira.

Ora, .
Logo, a bola entra na baliza.

Vai ser golo. A bola passa por cima da barreira, pois ultrapassa-a a uma altura de, aproximadamente, 2,1 metros e atinge a linha de golo a uma altura de 1,75 metros, inferior à altura a que se encontra a barra da baliza.

b)  
Ora, .

O gráfico de f é um arco de parábola, com a concavidade voltada para baixo, cujo vértice é .
Logo, a bola atinge a altura máxima de 2,56 metros.

c)  
Quando a bola atinge a altura máxima, esta localiza-se na posição .
Dado que o plano da trajectória da bola é perpendicular à linha de golo, a distância da bola à linha de golo, nesse instante, é igual a distância da bola ao ponto .

Ora, .
Quando a bola atinge a altura máxima, encontra-se aproximadamente a 9,4 metros da linha de golo.

 

 

FIM