Escola Secundária/2,3 da Sé-Lamego

Proposta de Resolução da Ficha de Trabalho do GAVE

 

1.  

a)  
Para , vem  e .
Assim, .

b)  
.

c)  
Ora, .

d)  
Ora,

      Se , tem-se  e  e, se , tem-se  e ; então, cada quadrado que se obtém para  é geometricamente igual a um dos quadrados que se obtém para .

2.  

a1)  
Ver gráfico ao lado.

a2)  
 e .

a3)  
Se o Rui caminhou sempre à mesma velocidade e demorou 6 minutos a percorrer 600 metros, então essa velocidade constante é . Desta forma, decorridos 2 minutos após a saída de casa, o Rui percorreu 200 metros.
Assim, como se verifica no gráfico, , isto é, às 9 horas e 2 minutos, o Rui estava a 200 metros de casa.

a4)  
A equação  traduz o seguinte problema: «Qual foi o intervalo de tempo (contado em minutos após as 9 horas) durante o qual o Rui permaneceu no café?».
O conjunto solução da equação é .

 

 

a5)  
No regresso, o Rui caminhou à velocidade constante de . Logo, às 9 horas e 20 minutos estava a 200 metros do café e a 400 de casa.
Assim,  (como se pode verificar no gráfico). Portanto, o conjunto solução da equação é .

b1)  
Ver gráfico ao lado.

b2)  
A equação  traduz o seguinte problema: «Quais foram os instantes (contados em minutos após as 9 horas) em que o Rui esteve a igual distância de casa e do café?».
O conjunto solução da equação é .

3.  

a)  

     

b)  
A Rita demorou  a chegar ao seu destino. Como a Inês demorou mais 54 minutos, a sua viagem durou . Assim, as distâncias percorridas por cada uma delas são expressas, respectivamente, por , com , e , com .
Ora, as duas amigas cruzam-se no instante t que verifica a condição .
Assim, temos: .
Ao fim de 2 horas de viagem, a Rita percorreu 10 Km, pelo que estava a 8 Km de Altavila quando se cruzaram.

      No gráfico estão representadas as distâncias das duas amigas à localidade de Altavila, em função do tempo de viagem.

4.  

a1)  
 representa o volume de água no depósito, em , 1 minuto após o início do enchimento.
 representa o volume de água no depósito, em , t minutos após o início do enchimento.

a2)  
O depósito tem  de volume.
Logo, .

a3)  
O depósito demora  a ficar completamente cheio.
Logo, .

a4)  
A solução da equação  representa, em minutos, o tempo necessário para encher completamente o depósito.

a5)  
Ora, , com .

a6)  
Ver gráfico ao lado.

a7)  
 e .

a8)  
Ora, , com .

b1)  
A constante c representa o caudal da torneira, em  por minuto.

b1)  
A constante k traduz a razão entre o caudal da torneira, em  por minuto, e a área da base do depósito, em , isto é, a taxa de variação da altura da água no depósito, em  por minuto.
Assim, sendo  é . Logo,  representa a área da base do depósito, em .

5.  

a)  
Aceitando a sugestão, elaborou-se a tabela ao lado, que permite confirmar que os analistas da empresa têm razão.

b)  
y é a variável dependente e x é a variável independente.

c1)  
Ora, .
Estima-se que seja vendida num mês 8,5 toneladas de ração.

c2)  
Ora, .
Cada quilograma de ração deve ser vendido a 2,64 euros.

c3)  
.

c4)  
Depois de obtida a representação gráfica da função, determinou-se o seu máximo e o respectivo maximizante.

De acordo com os valores obtidos, o preço deve ser 4,06 euros por quilograma.

 

 

6.  

a)  
Para , temos  e .
Assim,  e,
consequentemente, .

b)  
 e  (note que ).

c)  
Ora, .

7.  

a)  
.

b)  
 e .

c1)  
Como , então .

c2)  
Como , então .

c3)  
Como , então .

c4)  
Como , então .

c5)  
Como , então .

c6)  
Como , então .

c7)  
Como , então .

c8)  
Como , então .

c9)  
Como , então .

 

FIM