Escola Secundária/2,3 da Sé-Lamego

Proposta de Resolução da Ficha de Trabalho de Matemática A

 

a)  
Qualquer um dos três planos que contém 4 vértices do octaedro contém duas das suas diagonais.
Por exemplo, o plano PQR contém as diagonais [PR] e [QS].

b)  
Desse corte resultam duas pirâmides quadrangulares regulares, geometricamente iguais.
No caso da secção produzida pelo plano PQR, resultam as duas pirâmides [PQRSJ] e [PQRSL].

c)  
Consideremos o plano PQR, que determina como secções os quadrados (Porquê?) [TUVX] e [PQRS], respectivamente no cubo e no octaedro.
Essas secções estão representadas na figura seguinte, onde P, Q, R e S são pontos médios dos lados do quadrado [TUVX]. (Porquê?)(Justifica que [PQRS] é um quadrado)

d1)  
Designado por b o comprimento da aresta do octaedro e aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo rectângulo [QUR], temos:
.
(Note que )

d2)  
A superfície esférica circunscrita ao octaedro tem centro no centro do cubo e contém os pontos P, Q, R, S, J e L, isto é, os centros das faces do cubo.
Logo, o comprimento do seu raio é dado por .

e)  
Consideremos a secção produzida pelo plano AFH, que está ilustrada nas figuras seguintes.
Os pontos T e V são os pontos médios das arestas [AF] e [CH] do cubo; os pontos K e W são os pontos médios das arestas [PQ] e [RS] do octaedro; o ponto O é o centro do cubo.

         

f)   
No triângulo rectângulo [KOJ], temos:
.
Assim, , donde .
Portanto, a amplitude do diedro formado por duas faces do octaedro é aproximadamente 109,47º.

g)  
O volume do cubo é dado por .
Tendo em consideração o referido na alínea b), temos:

Portanto, , isto é, .