Escola Secundária/2,3 da Sé-Lamego

Ficha de Trabalho de Matemática A

Duplicação do quadrado e a irracionalidade de

Certamente, depois de teres lido o texto “UM POUCO DE HISTÓRIA”, página 77 do INFINITO 10 A (1.ª Parte), ficaste curioso sobre a irracionalidade de .

      Resolve a ficha de trabalho “Duplicação do quadrado”, em http://www.prof2000.pt/users/amma/af18/t5/FT-1.htm e completa a demonstração da irracionalidade de :

D.   Vamos agora demonstrar que  é um número irracional, isto é, que não se pode exprimir como o quociente de dois números naturais (portanto, não lhe pode corresponder uma dízima finita ou infinita periódica).

      Acompanha e completa a demonstração:

      Admitamos que existe um número fraccionário  (na forma irredutível), tal que , isto é, .

      Podemos exprimir as áreas dos quadrados pelas expressões:

·      

·      

      Vá sabemos que a área do quadrado [BDEF] é _________ da do quadrado [ABCD], isto é, que .

      Assim sendo, será também , ou seja, .

      Deste modo,  é um número par, pois ___________________________________________________________.

      E sendo  par, também  será _________, pois quando o quadrado de um número é par, o número é par.

      Mas, foi dito acima que número fraccionário  está na forma irredutível, logo se m é par n tem de ser _________.

      Por outro lado, se m é par existe um número natural k tal que .

      Assim, terá de ser , ou seja, . Logo, ter-se-á .

      Deste modo,  é um número par e, consequentemente, n é _______________________________________.

      Ora, mas isto é absurdo, pois n não pode ser simultaneamente ________ e _________.

      Logo, não pode existir um número racional , tal que .