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Escola Secundária/2,3 da Sé-Lamego Ficha de
Trabalho de Matemática Ano Lectivo 2009/10 O
Cubo e o seu Dual 10.º
Ano O Cubo e o seu Dual
O princípio da dualidade estabelece que qualquer figura tridimensional constituída por vértices, arestas e faces, tem uma figura dual, cujas faces correspondem aos vértices da figura inicial e vice-versa. Assim, para qualquer poliedro existe o seu dual, mas só para os poliedros regulares é possível definir os duais recorrendo aos centros das faces. Facilmente se vê que o dual de um poliedro regular é outro poliedro regular e, por isso, é possível estabelecer relações interessantes entre os seus elementos. Considera um cubo de aresta a e o seu dual.
a) Supondo que o octaedro foi intersectado por um plano que contém 4 dos seus vértices, quantas diagonais desse poliedro estão contidas nesse plano? b) Que sólidos geométricos resultaram desse corte? c) Escolhe um
corte do cubo e do seu dual que te permita, facilmente, relacionar a aresta do
cubo com a do octaedro. Representa essa secção no plano. d) Exprime em função de a: d1) A aresta do octaedro; d2) O raio da superfície esférica circunscrita ao octaedro. e) Escolhe um
corte do cubo e do seu dual que te permita, facilmente, determinar a medida da
amplitude do diedro formado por duas faces do octaedro. Representa no plano
essa secção. f) Determina a medida da amplitude desse diedro. g) Qual a relação entre o volume do cubo e do seu dual? Sugestão: Determina, em função de a, o volume de um dos sólidos geométricos obtidos em b). |
