A ponte

Como prever se uma ponte construída com uma tábua aguentará o peso de uma pessoa que a atravessa?

Problema 1

1. Imagina que vais mudando lentamente a distância c entre os apoios da ponte. Como é que isso afectará o peso máximo p que a ponte aguenta?

Faz um gráfico (do tipo A) para mostrar como varia p com c.

2. Imagina agora que, separadamente, se modificam a grossura g e a largura a da ponte.

Desenha os gráficos (tipos B e C) que mostrem o efeito sobre p.

3. Compara os teus gráficos com os do teu companheiro.

Tenta convencê-lo de que os teus gráficos estão correctos.
Não é muito importante que neste momento não consigam chegar a acordo.

COMPRIMENTO c (m)	LARGURA a (cm)	GROSSURA g (cm)	PESO MÁXIMO p (Kg)
2	40	5	250
1	20	5	250
2	50	4	200
2	40	4	160
1	20	4	160
2	20	5	125
2	30	4	120
1	20	3	90
2	20	4	80
1	30	2	60
4	40	3	45
1	20	2	40
2	10	4	40
2	30	2	30
3	30	2	20
3	10	3	15
4	30	2	15
5	30	2	12
1	20	1	10
4	40	1	5

Problema 2

A tabela apresentada mostra os pesos máximos que pontes de diferentes dimensões conseguem suportar. Os resultados aparecem por ordem, desde a ponte mais resistente até à mais fraca. Vamos tentar descobrir regras para prever a resistência de uma ponte a partir das suas dimensões.
Temos três variáveis. Comprimento, largura e grossura. Se mantivermos fixas duas destas variáveis, podemos descobrir uma relação entre a terceira variável e o peso que a tábua aguenta.
Vamos reorganizar a tabela de forma que c, a e g variem de acordo com uma determinada regra. Comecemos por manter fixos a e g para descobrirmos como p depende de c.

Para isso:

1. Reúne todos os dados relativos a uma tábua de 30 cm de largura e 2 cm de grossura, e preenche a tabela:

GROSSURA DA TÁBUA (g)
PESO MÁXIMO (p)

Descreve todas as regras que descobrires. (Podes prever, por exemplo, o valor de p quando c = 6?)
O teu gráfico está de acordo com a tabela?
Tenta descobrir uma fórmula que se ajuste a estes dados.

2. Procura agora pontes com comprimento e largura fixos, e preenche uma tabela como a seguinte.

COMPRIMENTO DA TÁBUA (g)
PESO MÁXIMO (p)

Tenta encontrar uma relação entre a grossura e o peso máximo que a ponte aguenta.
Descreve o que descobrires.

3. Faz o mesmo para tábuas com comprimento e grossura fixos, preenchendo a tabela que se segue.

LARGURA DA TÁBUA (c)
PESO MÁXIMO (p)

4. Conseguirás combinar todos os resultados de modo a obter uma fórmula que se possa utilizar para prever a resistência de uma ponte com quaisquer dimensões?

5. Finalmente, que sucederá nesta situação?

José Paulo Viana e Paula Teixeira, Educação e Matemática n.º 21, 1992
Materiais Para a Aula de Matemática, APM 2001

AMMA 2002 Círculo de Estudos – Desenvolvimento do Programa de 10.º Ano de Matemática B para o Ensino Secundário