Escola Secundária/3 da Sé-Lamego

Ficha de Trabalho

Matemática B

Sólidos Platónicos – Duais, Áreas e Volumes

1.   Se considerarmos um qualquer sólido platónico e «unirmos» os pontos centrais de faces adjacentes, obtemos um novo sólido platónico. Estes dois sólidos dizem-se duais um do outro.

      Qual será o sólido dual do cubo?

      Desenha as arestas desse sólido, unindo os pontos centrais das faces adjacentes do cubo. Surpreendido? Podes confirmar a tua construção aqui.

 

2.   Quais serão os duais dos restantes sólidos platónicos?
Bem, por um processo semelhante, poderíamos tentar descobri-los!

      Vamos apenas descobrir mais um: Qual é o dual do tetraedro? (Não mais do que dois minutos para esta tarefa)

      Foi fácil?! Então só mais outro: Qual é o dual do octraedro? (Não mais do que três minutos para esta tarefa)

      Para abreviar a investigação, vai novamente a http://www.fc.up.pt/atractor/mat/Polied/fr_polied.htm  e considera a secção relativa à Dualidade.

a)   O quadro a seguir apresentado, já teu conhecido, foi preenchido de acordo com a coluna dos POLIEDROS.
Preenche as células «laranja» com os rótulos da 1.ª linha da tabela, por forma que o quadro fique também correctamente preenchido de acordo com a coluna dos DUAIS.

 

 

b)   Observa com atenção o quadro totalmente preenchido.
Que concluis?

 

3.   Considera o cubo e o seu dual representados na figura ao lado.

Sugestão: Utiliza os materiais que tens ao teu dispor, recorre à visualização e a instrumentos matemáticos como simetrias, propriedades e relações.

a)   Determina a área e o volume do octaedro, sabendo que a aresta do cubo tem 4 cm de comprimento.

      Apresenta todos os cálculos assim como as figuras consideradas essenciais para os acompanhar. Acrescenta as justificações que julgares oportunas.

b)   E se a aresta do cubo tiver 8 cm de comprimento? Justifica.
(Não se esperam grandes cálculos, mas sim uma justificação bem fundamentada)

 

4.   Num cubo podemos considerar uma diagonal em cada face, de modo que as 6 diagonais representadas concorram só em 4 dos vértices do cubo. Esses segmentos são as arestas de um novo poliedro.

a)   De que poliedro se trata? Justifica.

b)   Calcula o seu volume, sabendo que a aresta do cubo tem 10 cm de comprimento.

Sugestão: Constrói um modelo com o material fornecido.
Corre esta Aplicação JavaSketchpad.

 

 

 

 

5.   Observa a figura ao lado, onde:

·       P, Q e R são os pontos médios das arestas a que pertencem;

·       A aresta do cubo tem 4 centímetros de comprimento.

 

a)   Determina o perímetro e a área da secção produzida no cubo pelo plano PQR.

b)   Determina o volume da pirâmide [PQRV].

c)   A investigar no Clube de Matemática: outras secções no cubo.

 

 

 

 

 

 

Sketches GSP: (versão 3)	GSP1 Animação relativa à construção do dual do cubo GSP2 Animação relativa à divisão do cubo num tetraedro e quatro pirâmides GSP3 Animação relativa à secção do cubo