Escola Secundária/3 da Sé-Lamego

Ficha de Trabalho

Matemática B

O Cubo e o seu Dual

O princípio da dualidade estabelece que qualquer figura tridimensional constituída por vértices, arestas e faces, tem uma figura dual, cujas faces correspondem aos vértices da figura inicial e vice-versa. Assim, para qualquer poliedro existe o seu dual, mas só para os poliedros regulares é possível definir os duais recorrendo aos centros das faces. Facilmente se vê que o dual de um poliedro regular é outro poliedro regular e, por isso, é possível estabelecer relações interessantes entre os seus elementos.

      Considera um cubo de aresta a e o seu dual.

 

a)   Supondo que o octaedro foi intersectado por um plano que contém 4 dos seus vértices, quantas diagonais desse poliedro estão contidas nesse plano?

b)   Que sólidos geométricos resultaram desse corte?

c)   Escolhe um corte do cubo e do seu dual que te permita, facilmente, relacionar a aresta do cubo com a do octaedro. Representa essa secção no plano.

d)   Exprime em função de a:

d1)   A aresta do octaedro;

d2)   O raio da superfície esférica circunscrita ao octaedro.

e)   Escolhe um corte do cubo e do seu dual que te permita, facilmente, determinar a medida da amplitude do diedro formado por duas faces do octaedro. Representa no plano essa secção.

f)    Determina a medida da amplitude desse diedro.

g)   Qual a relação entre o volume do cubo e do seu dual?

Sugestão: Determina em função de a o volume de um dos sólidos geométricos obtidos em b).