“VIVA O FESTIVAL DA CANÇÃO”Que
competição mais justa, democrática e representativa pode haver do que as
eleições legislativas ? Resultados matemáticos recentes mostram que a resposta
é ... o Festival da Canção ! Ao que parece, é necessário mudar por completo a
filosofia da contagem eleitoral. Ao ler estas linhas, já terão sido realizadas as
eleições de 10 de Outubro. O leitor estará certamente farto da campanha
eleitoral e nauseado de ouvir expressões como “voto útil”. E pensará com
resignação que é o preço a pagar. Afinal, as eleições livres e universais são a
quinta-essência da democracia, e o princípio de “um homem–um voto” a expressão
máxima da igualdade entre os homens. Nada pode haver, portanto, de mais justo que os
resultados das eleições – como até os vencidos terão sublinhado, provavelmente
com expressões como “em democracia, o povo é soberano”. Certo ? Errado. O princípio, aceite hoje universalmente, de “um homem–um voto”, conhecido por “votação plural”, não é o processo mais justo de proceder a uma eleição. Pelo contrário. Pode levar a gritantes injustiças, elegendo o candidato menos apoiado pelo eleitorado ! Estas afirmações nada têm de ideológico. São
consequência de teoremas demonstrados por matemáticos e publicados na
literatura científica. O leitor pode, de resto, substituir as eleições
legislativas pelas do seu clube de futebol favorito, do administrador do
condomínio, ou do Papa. As afirmações não se alteram. Nada melhor para esclarecer estas afirmações
surpreendentes do que um exemplo. Suponhamos que para um determinado cargo existem
três candidatos: o Alberto, o Bernardo e a Catarina (daqui por diante
designados respectivamente por A, B e C), e que o universo eleitoral é
constituído por 12 pessoas. Cada eleitor tem a sua hierarquia de preferências
entre A, B e C. Se um eleitor prefere A a B e, por outro lado, B a C, vamos
designar as suas preferências eleitorais por A>B>C. Suponhamos então que as ordens de preferência
eleitoral dos votantes são as seguintes: para 5 dos eleitores, A>C>B;
para 4 dos eleitores, B>C>A; e para os restantes 3, C>B>A. De acordo com a regra de “um homem–um voto”, cada
eleitor vota na sua primeira preferência. Resultado – o Alberto é eleito com
uns confortáveis 42 %. E com toda a justiça, pensamos. Injustiças da Democracia
No entanto, o que aconteceria se o Bernardo tivesse
retirado a sua candidatura ? O nosso sentido de justiça leva-nos imediatamente
a pensar que deve continuar a ser o Alberto o vencedor. Errado ! Uma simples
contagem mostra que, retirando-se o Bernardo, a Catarina ganha ao Alberto por 7
a 5 – porque o Alberto é a primeira escolha para 5 votantes mas a última para
7. É eleita a Catarina ! Mais. Nas outras eleições entre apenas dois
candidatos, a Catarina vence o Bernardo por 8 a 4 e o Bernardo vence o Alberto
por 7 a 5. Estes resultados sugerem fortemente que os eleitores
no seu conjunto encaram a Catarina como o melhor candidato, visto que ganha a
todos os outros isoladamente, e o Alberto como o pior, visto que perde em
comparação com qualquer dos outros. Ironia do destino ... é eleito o Alberto e a Catarina
fica em último lugar. O resultado da escolha colectiva foi o menos desejado
pela maioria dos próprios eleitores. Este paradoxo eleitoral tem um único culpado: o
processo de contagem dos votos. Ele mostra que a “votação plural” pode, ao
contrário do que é intuitivo, não reflectir fielmente as opções do eleitorado. Estas observações não são novas. Pelo contrário. Têm
mais de 200 anos. Tudo começou quando, em 1780, o matemático francês
Jean-Charles Borda, cansado do que considerava serem más decisões eleitorais da
Academia das Ciências, apresenta uma memória sobre contagem de votos em
eleições. Borda descreveu os defeitos do sistema “Um homem – um voto” (um dos
exemplos que forneceu foi o atrás descrito) e propôs um novo sistema, que demonstrou
matematicamente ser mais justo. A Academia adoptou-o até cerca de 1800, altura
em que foi proibido por Napoleão (cuja fama não provém do seu amor à
democracia). O método proposto, conhecido hoje como “contagem de
Borda”, é simples. Em lugar de “um homem – um voto”, cada votante deve ordenar
os candidatos por ordem de preferência. Se há três candidatos, a primeira
escolha do votante recebe 2 pontos, a segunda 1 ponto e a terceira 0 pontos. No
final, somam-se os pontos obtidos por cada um dos candidatos. Ganha quem tiver
mais pontos. É mais ou menos clara a superioridade deste método
sobre a votação plural. Na contagem de Borda o voto retém a informação sobre
todas as opções do eleitor. Na votação plural é apenas considerada a primeira
preferência do eleitor; as suas outras opções são ignoradas. As alternativas possíveis
É
assim natural esperar que a contagem de Borda retrate com maior fidelidade e
precisão as preferências do eleitorado. Para retomar o exemplo acima,
realizemos a eleição entre A, B e C utilizando a contagem de Borda. O resultado
é de 15 pontos para a Catarina, 11 para o Bernardo e 10 para o Alberto. Fez-se
justiça ! A Catarina é eleita e o Alberto fica em último. Esta questão, no entanto, é mais profunda do que
parece. O matemático americano Keneth Arrow desconhecia a ilustre linhagem
deste problema quando, no final dos anos 40, publicou como parte da sua Tese de
Doutoramento, um resultado surpreendente, talvez o mais citado (e mal
interpretado) resultado matemático relativo às Ciências Sociais. Arrow considerou, no abstracto, todas as possíveis
formas de eleição que satisfaçam 3 propriedades, com as quais dificilmente se
discorda. A primeira é a Liberdade. Cada eleitor pode ordenar livremente os
candidatos (desde que o faça transitivamente: se prefere A a B e B a C, então
tem de preferir A a C). A segunda é a da Unanimidade. Se todos os eleitores
preferem A a B, então A vence B nas eleições. A terceira condição é a Independência de Alternativas
Irrelevantes. O resultado da hierarquização colectiva de dois candidatos
depende apenas dos candidatos em questão. Isto é, se o resultado colectivo é
A>B>C, então o grupo deve preferir A a C independentemente de B ser ou
não candidato. Esta condição elimina portanto a possibilidade de
haver paradoxos eleitorais à la Borda, como o exemplo acima construído.
Assim, por exemplo, o sistema de voto plural não a verifica. Para assegurarmos uma eleição justa e livre de
paradoxos, basta pois encontrar um sistema que verifique estas condições e
substituir o sistema de voto plural por ele. No entanto, o resultado chocante demonstrado por
Arrow é o seguinte: com 3 ou mais candidatos, o único sistema eleitoral (com
resultados transitivos) que satisfaz estas condições é aquele em que existe um
eleitor fixo tal que o resultado da eleição coincide sempre com as suas
preferências. Em português corrente, em que existe um “ditador”. O Teorema de Arrow, que lhe valeu o Nobel da economia
de 1972, afirma que o único sistema eleitoral livre de paradoxos é ... uma
ditadura ! Significa isto que a democracia é uma ilusão ? Que uma
sociedade civilizada é forçada a escolher entre incoerências e ditaduras ? Felizmente, não. Uma série de resultados demonstrados
já nesta década pelo matemático Donald Saari, da Northwest University, mostram qual
é o problema com o Teorema de Arrow. As suas hipóteses permitem que os
eleitores sejam irracionais, isto é, que possam fazer escolhas não-transitivas.
E daí os paradoxos. Ora, adoptando uma hipótese semelhante à de Arrow mas
que exclua à partida esta possibilidade, o resultado demonstrado por Saari é
novamente surpreendente: o único processo democrático que assegura uma eleição
justa e sem paradoxos é a velha contagem de Borda ! Está salva a
democracia. Saari descreve os seus resultados, que demonstram a
grande superioridade teórica da contagem de Borda sobre qualquer outro sistema,
no seu livro “Basic Geometry of Voting”, publicado em 1995. No entanto, falta aos
matemáticos o maior dos trabalhos, porventura desesperado: convencer os
políticos de que, para haver justiça nas urnas, têm de substituir o sistema “um
homem – um voto” pela contagem de Borda. Ou seja, transformar as eleições numa
espécie de Festival da Canção, ironicamente muito mais justo. PREFERÊNCIA DO
ELEITORADO (12 VOTANTES): 5 – A>C>B 4 – B>C>A 3 – C>B>A PLURALIDADE: Resultado da “Votação Plural”: A=5, B=4, C=3 (Alberto vence, com 5/12 avos, ou 42 %, e Catarina fica em último lugar, com 25 %; no final, tem-se A>B>C) CONDORCET: Retirando-se o Bernardo,
fica a Catarina contra o Alberto: 5 – A>C 4 – C>A 3 – C>A Resultado plural: C=7, A=5 (Catarina vence o Alberto por 7 a 5, C>A) Retirando-se o Alberto,
fica a Catarina contra o Bernardo: 5 – C>B 4 – B>C 3 – C>B Resultado plural: C=8, B=4 (Catarina vence o Bernardo por 8 a 4, C>B) Assim, em eleições
dois-a-dois, a Catarina vence o Alberto e o Bernardo (vencedora à Condorcet). CONTAGEM DE BORDA: Contagem de Borda (ou
método do Festival da Canção): 5 – A>C>B A=2x5=10, C=1x5=5, B=0x5=0 4 – B>C>A B=2x4=8, C=1x4=4, A=0x4=0 3 – C>B>A C=2x3=6, B=1x3=3, A=0x3=0 Resultado de Borda: A=10+0+0=10, B=0+8+3=11, C=5+4+6=15 (no final, tem-se C>B>A). CONCLUSÃO: Verifica-se para este
caso que as eleições avaliadas pelos métodos Plural e de Borda conduzem a uma
classificação final dos candidatos com ordens exactamente inversas ! -
Votação Plural: A>B>C - contagem de Borda: C>B>A (neste exemplo, também forneceu um vencedor à Condorcet) Nota: Este texto foi retirado de http://www.angelfire.com/home/ricardobenoliel/ciencia/
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