Escola Secundária/3 da Sé-Lamego

Ficha de Trabalho

Matemática Aplicada às Ciências Sociais

As regras da minoria

 

 

 

Era um desses sábados frios e claros de Fevereiro em que mesmo os Nova‑Iorquinos ficam em casa, rendendo-se ao tempo. Ecco veio receber-me à porta.

- Não quer uma chávena de chá? - perguntou-me, indicando o bule sobre a mesa. - Então leu as notícias sobre o escândalo na votação do Congresso da Patagónia? - acrescentou, enquanto eu enchia a chávena.

- Por alto - respondi-lhe. - Não dei muita importância a esse Congresso.

O Congresso da Patagónia é uma associação internacional de cientistas, burocratas do governo e executivos empresariais consultores das Nações Unidas.

- Mas, meu caro professor - retorquiu Ecco -, é um exemplo gritante da falta de lógica da imprensa; foi noticiado como tal, mas, na verdade, não houve qualquer escândalo.

- Quem lhe disse isso? - perguntei, surpreendido por Ecco poder ter alguns contactos no mundo da política.

- É cá uma ideia - disse ele. - Olhe o que diz o Times: «Havia três candidatos à presidência do Congresso, Guarez, Swenson e Libretti. Segundo fontes seguras, antes das eleições tanto Guarez como o seu inimigo mortal Swenson eram ambos apoiados por mais de 40% dos membros do Congresso, o que deixava a Libretti menos de 20% de apoiantes. Libretti era, assim, penalizado pela impressão que dá de ingenuidade e de falta de visão. Contudo, Libretti ganhou as eleições. Observadores exteriores levantam a hipótese de ter havido alguma manobra suja, mas os membros do Congresso recusam-se a comentar estas opiniões.» Depois outros jornais pegaram na história e relataram-na como se os rumores de corrupção na eleição fossem um facto assente. Acontece que tenho comigo o regimento interno do Congresso e estou convencido de que a eleição decorreu inteiramente de acordo com as regras. Veja, professor, o regimento interno define que a disputa da presidência deve ser feita segundo uma série de eleições, cada uma delas entre apenas dois candidatos. Assim, a primeira eleição pode ter oposto Guarez a Swenson e a segunda o vencedor da primeira a Libretti, ou então a primeira eleição foi disputada por Swenson e Libretti e a segunda opôs o vencedor da primeira a Guarez, ou, finalmente, Libretti e Guarez confrontaram-se na primeira eleição. Em qualquer dos casos, houve duas eleições de um contra um.

- O regimento muda todo o panorama - continuou Ecco. - Devido à inimizade entre Guarez e Swenson, Libretti ganha sempre, qualquer que seja a ordem por que ocorram as eleições. Os apoiantes de Swenson preferem-no a Guarez. Os apoiantes de Guarez preferem-no a Swenson. - Alguns dias depois o Times publicava uma carta ao editor que expressava este mesmo argumento: era assinada, simplesmente, por K. Arrow. A carta foi mesmo citada pelos novos serviços telegráficos. Pareceu-me ver nela o estilo de Ecco. - Não, o mérito é todo de Arrow - disse simplesmente.

- Pressinto uma confissão na sua negativa - disse-lhe. - Bem, talvez seja - replicou, rindo. - Lembra-se de como Kenneth Arrow abalou o mundo das ciências sociais com o tão citado teorema das possibilidades? Entre outras coisas, o teorema mostra que as preferências da maioria podem ser subvertidas por eleições em que mais de dois candidatos se defrontem simultaneamente. Arrow mostrou, por exemplo, que, com certos esquemas eleitorais, um candidato que pudesse derrotar qualquer outro numa eleição de um contra um - por vezes, chamado candidato de Condorcet - poderia, não obstante, perder. Suponha que são três os candidatos, A, B e C; A está posicionado à direita, C à esquerda e B ao centro. Se for utilizado um sistema de votação simultânea, os dois candidatos mais votados na primeira volta defrontar-se-ão na segunda. Se o eleitorado estiver muito polarizado, como acontecia no Congresso da Patagónia, B pode ser vencido na primeira volta. Contudo, B poderá vencer tanto A como C numa disputa de um contra um. O protocolo eleitoral do Congresso da Patagónia foi estabelecido de forma a garantir a vitória do candidato de Condorcet, se este existir. É evidente que se pressupõe que em cada uma das eleições os eleitores votam de acordo com as suas preferências. A imprensa analisou os factos de acordo com as regras de eleições em que os diferentes candidatos são votados simultaneamente, quando não era esse o caso. Foi por isso que Libretti foi considerado como seguramente vencido.

Mal Ecco acabara de pronunciar estas palavras, ouvimos bater à porta.

António Libretti, o novo presidente do Congresso da Patagónia, não me provocou nada a impressão de ser um homem de visão estreita. Pelo contrário, pareceu-me um homem com objectivos claros, convincentemente justificados.

- Assim, meus senhores - concluiu Libretti -, o que está em risco é o futuro da Amazónia e, possivelmente, do nosso planeta. O projecto de lei que defendo, e que gostaria que fosse aprovado pelo Congresso, limita o desenvolvimento nessa zona, enquanto as propostas alternativas conduzem todas à invasão da floresta, invasão que dificilmente poderá ser detida.

Ecco aquiesceu com a cabeça, embora sem entusiasmo. - Sr. Libretti, esses objectivos são muito válidos, e até os aprovo, mas o senhor disse que precisava dos meus serviços. Ora, sou tudo menos angariador de votos.

- Eu sei, Dr. Ecco. Não se trata de angariar votos, mas de um problema lógico, que gostaria de discutir consigo. Para começar, vamos designar todas as propostas por letras: A, B, C e D. A minha proposta é a C. Das outras, prefiro A a D e D a B. O Congresso da Patagónia tem 100 membros, dos quais 17 partilham exactamente as minhas preferências, 32 preferem A a B, B a D e D a C, 34 preferem D a B, B a C e C a A e os outros 17 preferem B a A, A a C e C a D.

- Resumindo, Sr. Libretti - disse Ecco -, o senhor acaba de descrever as preferências da seguinte forma:

§       C, A, D, B: 17 apoiantes;

§       A, B, D, C: 32 apoiantes;

§       D, B, C, A: 34 apoiantes;

§       B, A, C, D. 17 apoiantes.

O primeiro grupo representa o senhor e os seus 17 apelantes, que preferem C a A, A a D e D a B, e analogamente para os outros grupos.

- Sim, exactamente - disse Libretti. - Portanto, como pode ver, a minha posição tem pouco apoio entre os membros do Congresso. Além disso, nem sequer posso votar. Mas tenho um privilégio que espero usar a meu favor. O nosso sistema estipula que a proposta vencedora tem de ser determinada por uma série de eleições de um contra um. Por exemplo, a primeira eleição deve opor A a B, a segunda o vencedor a C, ou C a D, etc. Como é evidente, só o vencedor de uma eleição pode participar nas eleições subsequentes, vencendo a proposta que resistir a este processo sucessivo de eliminações. Contudo, a forma como decorrerem as eliminatórias pode afectar o resultado, como o senhor já concluiu da análise que fez da minha eleição. - Ecco sobressaltou-se. Afinal, como teria Libretti sabido que era ele o responsável pela análise da sua eleição? - Como presidente, tenho a prerrogativa - continuou Libretti - de escolher a ordem pela qual serão efectuadas as eleições de um contra um.

- E o senhor pensa que há uma forma que dará a vitória à sua proposta? - perguntei eu. - Se representasse a proposta B, poderia admitir que tivesse alguma esperança. Mas C? Numa eleição entre B e C, B obterá 83 votos e ganhará. A proposta C não é, com certeza, um candidato de Condorcet.

- Se o senhor e o Dr. Ecco pensarem nisto, tenho a certeza de que descobrirão uma forma - disse, voltando-se para mim e franzindo o sobrolho.

- Bem, Sr. Libretti, aqui tem a resposta - disse Ecco, entregando-lhe uma sequência de eleições de um contra um. - Pode fazer aprovar a resolução para salvar a Amazónia. A justificação para esta resposta reside no facto de não haver um candidato de Condorcet, sendo, assim, a ordem determinante.

- Óptimo - disse Libretti. - Só mais uma questão sobre este assunto: neste tipo de eleições é tradição que seja o presidente a escolher os dois oponentes na primeira eleição, mas é a oposição que escolhe o par que disputa a segunda. Neste caso, a oposição é constituída pelas pessoas cuja primeira escolha é B ou D. A pergunta é a seguinte: se escolher o primeiro par e a oposição escolher o segundo, posso garantir a vitória de uma das minhas duas primeiras escolhas, C ou A?

- A tradição ainda é uma coisa maravilhosa - disse Libretti depois de ouvir a resposta de Ecco. Com um sorriso nos lábios, apertou-nos as mãos e partiu.

- Bem - disse Ecco, virando-se para mim depois de Libretti ter saído -, será que os fins justificam os meios, professor? Acabámos de fazer com que Libretti e a sua pequena minoria ganhem, subvertendo, assim, o que deveria ser um processo democrático. Mas, no fundo, a causa de tudo isto é a regra singular que rege as eleições de um contra um.

- As pessoas, sem dúvida, subestimaram Libretti ao chamarem-lhe ingénuo - disse eu. - Ele está disposto a recorrer à astúcia para obter o que quer, ainda que seja bom.

- Ou talvez eles atribuam um sentido mais profundo a ingénuo - disse Ecco. - Imagine o que pensarão quando virem que Libretti usou uma vez mais o sistema de votação a seu favor. Poderá então perder a sua frágil base de apoio. - Ecco deteve-se, com o queixo enfiado na palma da mão e os olhos fixos no chão. - As pessoas podem pensar que está a abusar do poder e, assim, poderá perder a popularidade. - Ecco sorriu e suspirou. - Se, pelo menos, a política fosse tão fácil de entender como a matemática.

 

 

As regras da minoria, As Enigmáticas Aventuras do Dr. Ecco; Dennis Shasha, Gradiva, 1992