Escola Secundária da Sé-Lamego

Ficha de Trabalho de Matemática

Trabalho de Grupo

1.   Em http://www.fc.up.pt/atractor/mat/Polied/fr_polied.htm referem-se alguns poliedros.

      Por agora vamos considerar apenas os designados por Sólidos Platónicos.

a)   Explora a página referida e completa a tabela seguinte:

Sugestão:  Em caso de dificuldade de visualização, podes optar pelo programa Poly (com atalho no Ambiente de Trabalho) ou pela Aplicação Java em http://illuminations.nctm.org/imath/3-5/GeometricSolids/GeoSolids1.html.

Sugestão:  Determinar por contagem directa o número de arestas e de vértices do dodecaedro e do icosaedro poderá não ser tarefa fácil. Eis uma estratégia, por exemplo, para o icosaedro:

O icosaedro tem ___ faces. Cada face tem ___ vértices. Cada vértice é comum a ___ faces.
Logo o icosaedro tem ___ vértices.

O icosaedro tem ___ faces. Cada face tem ___ arestas. Cada aresta é comum a ___ faces.
Logo o icosaedro tem __ arestas.

b)   Para cada um dos poliedros, calcula a soma das colunas F e V.
Compara o valor calculado com o da coluna A.
Que descobriste? Qual é a regra?

Nota:    Essa relação é conhecida como a relação de Euler e é válida para qualquer poliedro convexo.
Se for caso disso, rectifica a tua tabela.

2.   Como já deves ter lido na página que consultaste, existem apenas cinco sólidos platónicos - tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro e dodecaedro.

      Por que razão haverá apenas 5 poliedros regulares convexos?
Utilizando os polígonos regulares de que dispões, constrói poliedros convexos com faces todas iguais.
Quantos poliedros regulares convexos consegues construir com:

a)   triângulos equiláteros? Porquê?

b)   quadrados? Porquê?

c)   pentágonos regulares? Porquê?

d)   hexágonos regulares? Porquê?

Apenas por curiosidade, consulta uma prova (http://www.mat-no-sec.org/criar/poliedros/demonstra.htm) de que os sólidos platónicos são 5.

3.   Individualmente, faz o Puzzle  (http://www.mat-no-sec.org/criar/poliedros/poli.html) e regista o número de pontos obtidos.

      Quem conseguiu maior número de pontos? Parabéns!

Trabalho Colectivo

      Participa na alusão aos aspectos mais/menos interessantes aflorados na actividade e na exposição das conclusões mais importantes.

Trabalho de Casa (Individual)

      Quantas diagonais (espaciais) tem o icosaedro?

      Naturalmente, não vais ter coragem de fazer essa contagem diagonal a diagonal.

Sugestão:  Como podes verificar, os vértices do icosaedro são pontos não colineares três a três.
Então, uma forma indirecta de contar as suas diagonais é fazer o cálculo do número total de segmentos definidos pelos seus vértices e descontar... (mais não digo)

Glossário

Sólido geométrico é a porção finita de espaço limitada por superfícies planas e curvas.

Poliedro é o sólido geométrico limitado por superfícies planas (polígonos regulares ou irregulares), chamadas faces do poliedro; que se intersectam nos lados dos polígonos, chamadas arestas do poliedro, e nos vértices dos polígonos, chamados vértices do poliedro.

Poliedro regular é o sólido geométrico em que todas as faces são polígonos regulares geometricamente iguais.

Poliedros convexos são aqueles cujos ângulos diedrais formados por planos adjacentes têm medidas menores do que 180º. Outra definição: Dados quaisquer dois pontos de um poliedro convexo, o segmento que tem esses pontos como extremidades, deverá estar inteiramente contido no poliedro.

O Professor