Acção de Formação à Distância TRENDS/PROF2000    

Proposta de Trabalho N.º 6

Descarga de um condensador

Introdução

Pretende-se modelar a dinâmica temporal de um circuito excitado pela energia armazenada num condensador, ou seja, a sua descarga através de uma resistência - elemento dissipador de energia.

Ao contrário de um circuito puramente resistivo, no qual a ausência de fontes independentes determina o valor nulo das correntes e das tensões no mesmo, o circuito RC (por exemplo) sem fontes independentes pode apresentar dinâmicas não nulas como resultado da energia eléctrica inicialmente armazenada no condensador.

Material utilizado

Material utilizado na experiência:

• TI-CBL com sensor de voltagem
• TI-83
• Programa "VOLT"
• 2 resistências de 10 kW
• 1 condensador de 100 µF
• 2 pilhas de 1,5 V
• 1 Bread Bord

Em virtude de se utilizar uma bateria inferior a 5 V, houve necessidade de alterar o programa, de modo a que o TI-CBL iniciasse quando a diferença de potencial nas pontas de prova ligadas ao porto CH1 fosse superior a 2 V.
(Ver Voltage Experiments)

Esquema da montagem

O esquema eléctrico do circuito implementado foi o seguinte:

ao qual correspondeu a montagem ao lado.

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A experiência

Depois de concluída a montagem, fez-se correr o programa "VOLT" (adaptado a 2 V), seguindo as indicações que foram aparecendo no ecrã da calculadora e de acordo com as instruções do programa.

Optou-se por fazer duas recolhas de dados: a primeira recolha de dados foi efectuada no circuito eléctrico acima referido e a segunda recolha foi feita depois de incluir outra resistência de 10 kW em paralelo com a já existente, dando uma resistência total equivalente de 5 kW.

Para isso, depois da primeira recolha efectuada, transferiram-se os valores das listas L1 e L2 para as listas L4 e L5, respectivamente.

Ambas as recolhas foram efectuadas com intervalo de tempo entre medições de 0,02 segundos, obtendo-se a seguinte representação gráfica:

Dado que foi mantido o intervalo de recolha de dados, constata-se facilmente que na 2.ª experiência, em que se passou a metade o valor da resistência, a descarga do condensador é mais rápida.

Ao lado, apresentam-se os últimos valores registados em cada uma das recolhas efectuadas.

1.ª recolha (10 kW)

2.ª recolha (5 kW)

Tratamento dos dados

Vamos debruçarmo-nos, por agora, nos dados recolhidos na 2.ª experiência.

Face à forma tão característica do gráfico obtido, é natural a escolha do modelo de regressão exponencial.

Executado o modelo de regressão exponencial aos valores recolhidos na 2.ª experiência (Listas L1 e L2), obteve-se para a mesma janela de visualização:

A soma dos desvios e a soma dos quadrados dos desvios que se obtiveram são, aproximada e respectivamente, 0,8 e 2,9 (valores significativamente elevados, mas compreensíveis!).

Pretendemos modelar a dinâmica de descarga do condensador através da resistência, na ausência de uma fonte de energia independente, mas os dados trabalhados não são consistentes com essa intenção.

As primeiras 13 amostragens recolheram a diferença de potencial nos terminais do condensador ainda com a fonte de energia independente ligada ao circuito.

Vamos, por isso, eliminar na tabela L1 os 13 primeiros valores recolhidos e ajustar os correspondentes instantes de amostragem, conforme está ilustrado ao lado.
Em L3, definiram-se os instantes de amostragem, em função do número de ordem da mesma (L3=L2-1).

Desta forma, passaremos a considerar:

Repetindo o modelo de regressão exponencial agora aos valores das listas L1 e L3, obteve-se para a mesma janela de visualização:

Ajustando a outras janelas de visualização:

A soma dos desvios e a soma dos quadrados dos desvios que se obtiveram são agora inferiores:

Criando em L2 os desvios entre os valores gerados pelo modelo e os experimentais (L2=Y2(L3)-L1):

O modelo de regressão exponencial continua ainda pouco ajustado ao conjunto dos primeiros valores obtidos na recolha de dados. Vamos ainda eliminar mais alguns dos primeiros valores recolhidos e repetir a regressão exponencial novamente.

Considerando as últimas 88 recolhas de dados, obtém-se:

A soma dos desvios e a soma dos quadrados dos desvios que se obtiveram são ainda menores.

Mas...

A procura do modelo

O modelo de regressão exponencial permanece ainda pouco ajustado ao conjunto dos valores recolhidos. Se repararmos com atenção, vemos que, a partir de uma certa ordem da recolha dos dados, os valores registados pelo TI-CBL repetem, eventualmente devido à ultrapassagem de precisão de leitura da diferença de potencial.

Vamos repor por "backup" as listas L1 e L2 e remover os registos iniciais e finais, nos quais as leituras sucessivas estão repetidas, e refaçamos novamente a regressão exponencial.

2.ª Experiência

Com 44 registos simultâneos da recolha de dados, obtém-se:

Ajustando a janela de visualização, temos:

A soma dos desvios e a soma dos quadrados dos desvios que se obtiveram agora são:

1.ª Experiência

Procedendo de forma análoga e considerando agora 57 dos dados recolhidos na primeira experiência, obtém-se:

Ajustando a janela de visualização, temos:

A soma dos desvios e a soma dos quadrados dos desvios obtidos são:

O modelo

Para a situação em estudo, em conformidade com os dados recolhidos e as limitações de leitura do TI-CBL, o modelo a aceitar será, portanto, o seguinte:

1.ª Experiência:
2.ª Experiência:

Ou seja, aproximadamente, depois de considerar y=v e t=0,02x:

1.ª Experiência:
2.ª Experiência:

com v em Volts e t em segundos.

Isto é, tudo leva a crer que o modelo matemático da descarga do condensador seja do tipo:

onde V₀ é a diferença de potencial nos terminais do condensador no momento inicial e k é uma constante associada ao circuito RC.

Será pertinente reparar que k₂/k₁ é aproximadamente 2.
Se recordarmos as duas experiências, verificamos que a única alteração entre os dois circuitos consistiu na alteração do valor da resistência do circuito (supostamente de 10 kW para 5 kW, de acordo com os valores nominais inscritos nesses componentes).

A repetição da experiência com outras resistências, condensadores, intervalos de tempo de amostragem e tensão de arranque do TI-CBL, certamente dariam, ou não, consistência a estas suposições.

Comparação gráfica dos modelos teórico e experimental

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De facto, o modelo matemático da situação em estudo é

como pode ser verificado aqui.

V₀ é a tensão nos terminais do condensador no instante inicial e

é a constante de tempo do circuito RC; R é a resistência equivalente do circuito vista dos terminais do condensador de capacidade C.

Nas experiências realizadas, os valores nominais (não correctos, com imensa probabilidade) são:

1.ª Experiência
V0	2,4729 V
R	10 kW
C	100 µF
	1
	1

2.ª Experiência
V0	2,4729 V
R	5 kW
C	100 µF
	0,5
	2

Para os quais os "modelos teóricos" seriam, respectivamente:

Diferença entre as funções teóricas e experimentais correspondentes


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Conclusão

Algumas páginas (a não perder) sobre este assunto:

Charging And Discharging A Capacitor
http://micro.magnet.fsu.edu/electromag/java/capacitor/

RC Circuits
http://www.phys.hawaii.edu/~teb/java/ntnujava/rc/rc.html

Discharging a capacitor
http://schools.matter.org.uk/Content/Capacitors/discharging.html

Condensadores - Carga, Descarga
http://www.geocities.com/rui_miguel_rocha/Electronica.htm#Condensadores

Voltage & Current in a Cap
http://www.electronics-training.com/training/cap_voltsncurrent.htm

Charging a Capacitor
http://230nsc1.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/capchg.html#c1

Solução Natural
http://analog.inesc.pt/SMACE/cap_09/solna_09.htm

O modelo encontrado pela análise dos dados experimentais está razoavelmente próximo do modelo matemático de descarga de um condensador.

Algumas incorrecções de leitura da diferença de potencial nos terminais do condensador (que poderão ser constatadas pela leitura integral das listas criadas), aliadas à insuficiente precisão dessas mesmas leituras, são factores que provavelmente terão contribuído para uma menor aproximação ao modelo matemático.

Ficheiro ZIP com os dados recolhidos nas duas experiências (L1 a L6).

Actualizada em
 26-10-2001