A Casinha da Matemática

A Álgebra é generosa; ela frequentemente dá mais do que aquilo que lhe é pedido. (D'Alembert)

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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

Copia e completa a tabela

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 102 Ex. 2

Enunciado

Sabendo que a e b são grandezas inversamente proporcionais, copia e completa a seguinte tabela.

Resolução >> Resolução

Como a e b são grandezas inversamente proporcionais, então é constante o produto das medidas correspondentes dessas grandezas.
A constante de proporcionalidade inversa é \(K = 0,05 \times 30 …

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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

Valores de duas grandezas x e y

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 102 Ex. 1

Enunciado

No quadro seguinte estão registados valores das grandezas x e y.

Justifica que estas grandezas são inversamente proporcionais e indica a constante de proporcionalidade inversa.

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Estas grandezas são inversamente proporcionais, pois é constante o produto das medidas correspondentes das duas grandezas:

\[7 \times …

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9.º Ano / Aplicando / Proporcionalidade inversa e Funções algébricas

As viagens do Rui

Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 101 Tarefa 4

Enunciado

O Rui desloca-se, diariamente, entre duas localidades.
A tabela seguinte estabelece a relação entre a velocidade média e o tempo gasto em cada viagem.

  1. Quando o Rui duplica a velocidade, o que acontece ao tempo de viagem?
  2. As grandezas são inversamente proporcionais?
    Justifica a tua resposta.
  3. Qual
…
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9.º Ano / Aplicando / Equações do 2.º grau

O desenho do João

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 95 Ex. 10

Enunciado

O João fez um desenho numa folha de papel com 22 cm por 28 cm e colocou-lhe uma moldura de cartolina de largura constante, como vês na figura.

A área dessa moldura era de 336 cm2.
Qual foi a largura da moldura que o João …

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9.º Ano / Aplicando / Equações do 2.º grau

A idade da Joana

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 95 Ex. 9

Enunciado

O produto da idade que a Joana terá daqui a três anos pela sua idade há dois anos atrás é 84.

Qual é a idade da Joana?
Explica a tua resposta.

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Seja x a idade atual da Joana, em anos (\(x \ge 2\)).

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\left( …

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9.º Ano / Aplicando / Equações do 2.º grau

O pai do João comprou um terreno

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 95 Ex. 8

Enunciado

O pai do João comprou um terreno com a forma de um quadrado.
Numa parte retangular desse terreno, o João vai fazer um jardim com 28 m2 de área, como mostra a figura.

Qual é a medida do lado do terreno?
Explica a tua resposta.

Resolução …

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9.º Ano / Aplicando / Equações do 2.º grau

O diálogo entre a Susana e o Pedro

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 95 Ex. 7

Enunciado

Lê o diálogo entre a Susana e o Pedro.

Quantos euros tem o Pedro?

Resolução >> Resolução

Seja x o número de euros que tem o Pedro.

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2}}}{2} = 5x}& \wedge &{x > 2}\end{array}}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} – 10x = 0}& \wedge &{x > 2}\end{array}}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{x\left( {x …

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9.º Ano / Aplicando / Equações do 2.º grau

Um reservatório de óleo

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 95 Ex. 6

Enunciado

O nível N de óleo (em litros) de um reservatório varia com o tempo t (em horas), de acordo com a expressão:

\[N\left( t \right) = – 0,6\,{t^2} + 0,25\,t + 0,7\]

  1. No início da contagem do tempo, havia óleo no reservatório?
    Explica a tua resposta. 
  2. Ao
…
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9.º Ano / Aplicando / Equações do 2.º grau

Um quadrado e um retângulo

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 94 Ex. 5

Enunciado

A área total da figura desenhada pela Raquel é 176 cm2.

Determina as áreas das regiões correspondentes ao quadrado e ao retângulo que a Raquel desenhou.

Resolução >> Resolução

Como a área total da figura desenhada pela Raquel é 176 cm2, vem:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{A_{Figura}} …

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9.º Ano / Aplicando / Equações do 2.º grau

Considera a equação

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 94 Ex. 4

Enunciado

Considera a equação:

Para que valores do parâmetro m a equação tem apenas uma solução.

Resolução >> Resolução

A equação tem 1 solução se e só se o seu binómio discriminante for nulo.

Assim, temos:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta = 0}& \Leftrightarrow &{{{\left( { – m} \right)}^2} – 4 \times …

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9.º Ano / Aplicando / Equações do 2.º grau

Qual é esse número positivo?

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 94 Ex. 3

Enunciado

Existe um número positivo para o qual a expressão \[{\left( {x – 2} \right)^2} + x – 4\] é igual a 40.

Qual é esse número?
Apresenta os cálculos que efetuares.

Resolução >> Resolução

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {x – 2} \right)}^2} + x – 4 = 40}& \Leftrightarrow &{{x^2} …

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9.º Ano / Aplicando / Equações do 2.º grau

Resolve a equação

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 94 Ex. 2

Enunciado

Resolve a equação \[2{x^2} + 2x – 4 = 0\] utilizando o completamento do quadrado.

Resolução >> Resolução

\[\begin{array}{*{20}{l}}{2{x^2} + 2x – 4 = 0}& \Leftrightarrow &{{x^2} + x – 2 = 0}\\{}& \Leftrightarrow &{{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} – \frac{1}{4} – 2 = 0}\\{}& \Leftrightarrow &{{{\left( …

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9.º Ano / Aplicando / Equações do 2.º grau

Três equações

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 94 Ex. 1

Enunciado

Considera as seguintes equações.

  1. De que grau são estas equações? Porquê?
  2. Designando por a o coeficiente de x2, por b o de x e por c o termo independente, identifica a, b e c nas três equações.
  3. Classifica as equações anteriores em completas e
…
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9.º Ano / Aplicando / Equações do 2.º grau

Clube desportivo Os Medalhados

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 93 Ex. 7

Enunciado

No jardim do clube desportivo Os Medalhados, existem duas balizas como a representada na Figura1.

A Figura 2 representa um esquema da baliza da Figura 1. Os triângulos [ABC] e [DEF] são retângulos em A e em D, respetivamente. [BEC…

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9.º Ano / Aplicando / Equações do 2.º grau

Resolve a equação seguinte

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 93 Ex. 6

Enunciado

Resolve a equação seguinte.

\[{\frac{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}{6} – \frac{{2x + 1}}{3} = 1}\]

Apresenta os cálculos que efetuares.

Resolução >> Resolução

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}{6} – \frac{{2x + 1}}{3} = 1}& \Leftrightarrow &{{x^2} – 2x + 1 – 4x – 2 = 6}\\{}& \Leftrightarrow …

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9.º Ano / Aplicando / Equações do 2.º grau

Resolve a equação seguinte

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 93 Ex. 5

Enunciado

Resolve a equação seguinte.

\[{x\left( {x – 1} \right) + 2x = 6 – 4{x^2}}\]

Apresenta os cálculos que efetuares.

Resolução >> Resolução

\[\begin{array}{*{20}{l}}{x\left( {x – 1} \right) + 2x = 6 – 4{x^2}}& \Leftrightarrow &{{x^2} – x + 2x – 6 + 4{x^2} = 0}\\{}& \Leftrightarrow …

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9.º Ano / Aplicando / Equações do 2.º grau

Resolve a equação seguinte

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 92 Ex. 4

Enunciado

Resolve a equação seguinte.

\[{\frac{{{x^2} – 1}}{3} = 1 – x}\]

Resolução >> Resolução

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{x^2} – 1}}{3} = 1 – x}& \Leftrightarrow &{{x^2} – 1 = 3\left( {1 – x} \right)}\\{}& \Leftrightarrow &{\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right) + 3\left( {x – 1} \right) …

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9.º Ano / Aplicando / Equações do 2.º grau

Resolve a equação seguinte

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 92 Ex. 3

Enunciado

Resolve a equação seguinte.

\[4\left( {{x^2} + x} \right) = 1 – {x^2}\]

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Resolução >> Resolução

\[\begin{array}{*{20}{l}}{4\left( {{x^2} + x} \right) = 1 – {x^2}}& \Leftrightarrow &{4\left( {{x^2} + x} \right) + {x^2} – 1 = 0}\\{}& \Leftrightarrow &{4x\left( {x + …

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9.º Ano / Aplicando / Equações do 2.º grau

Considera a expressão \(3{\left( {x – 1} \right)^2} = 0\)

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 92 Ex. 2

Enunciado

Considera a expressão \(3{\left( {x – 1} \right)^2} = 0\).

Qual das seguintes equações é equivalente à equação dada?
Escreve a letra que apresenta a resposta correta.

[A] \({x^2} – 1 = 0\)
[B] \({x^2} – 2x + 1 = 0\)
[C] \({x^2} + 1 = 0\)…

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9.º Ano / Aplicando / Equações do 2.º grau

Um quadrado [ABCD]

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 92 Ex. 1

Enunciado

Na figura, está representado um quadrado [ABCD].
Sabe-se que:

  • o comprimento do lado do quadrado é 10.
  • E, F, G e H são os pontos médios dos lados [AB], [BC], [CD] e [DA], respetivamente.
  1. Qual
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9.º Ano / Aplicando / Equações do 2.º grau

Uma calçada

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 89 Ex. 19

Enunciado

O Sr. José foi contratado para fazer uma calçada à volta de dois lados de um terreno retangular. O terreno mede 20 metros por 30 metros, como indica a figura, e a calçada deve ter sempre a mesma largura.

Sabendo que o Sr. José dispõe de 72 …

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9.º Ano / Aplicando / Equações do 2.º grau

A temperatura de um forno

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 89 Ex. 18

Enunciado

A temperatura C (em graus Celcius) de um forno é regulada de modo que varie com o tempo (em minutos) de acordo com a expressão:

\[C\left( t \right) = 150 – 0,5\,{t^2} + 15\,t\]

com \(0 \le t \le 20\).

  1. Calcula a temperatura no instante \(t =
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9.º Ano / Aplicando / Equações do 2.º grau

Dois círculos

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 89 Ex. 17

Enunciado

Se adicionarmos 3 cm ao comprimento do raio de um círculo, obtemos outro cuja área é o quádruplo da área do primeiro.

Calcula o comprimento do raio do primeiro círculo.

Resolução >> Resolução

Seja \(r\) o comprimento, em cm, do raio do primeiro círculo.

As áreas dos …

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9.º Ano / Aplicando / Equações do 2.º grau

Dois números inteiros consecutivos

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 89 Ex. 15

Enunciado

Averigua se existem dois números inteiros consecutivos de tal modo que o quadrado da sua soma seja 36.

Resolução >> Resolução

Seja \(p \in \mathbb{Z}\).

Pretendemos saber se tem soluções, no conjunto dos inteiros, a equação \({\left( {p + p + 1} \right)^2} = 36\).

Averiguemos o …