A Casinha da Matemática

A Álgebra é generosa; ela frequentemente dá mais do que aquilo que lhe é pedido. (D'Alembert)

A Casinha da Matemática Blog

0

9.º Ano / Aplicando / Equações do 2.º grau

Resolve cada uma das seguintes equações

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 86 Ex. 8

Enunciado

Resolve cada uma das seguintes equações:

  1. \(6{x^2} + 5x + 1 = 0\)
     
  2. \({x^2} – 4x + 4 = 0\)
     
  3. \({x^2} – 3x + 2 = 0\)
     
  4. \({x^2} – \frac{5}{3}x – \frac{2}{3} = 0\)
     
  5. \(x\left( {x – 8} \right) = – 42 + 5x\)
     
  6. \(\frac{x}{4} – \frac{{{{\left(
…
0

9.º Ano / Aplicando / Equações do 2.º grau

Resolve as seguintes equações do 2.º grau, utilizando o completamento do quadrado

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 86 Ex. 7

Enunciado

Resolve as seguintes equações do 2.º grau, utilizando o completamento do quadrado.

  1. \({x^2} + 2x – 3 = 0\)
     
  2. \({x^2} – 13x + 42 = 0\)
     
  3. \( – {x^2} – 5x + 3 = 0\)
     
  4. \(3{x^2} + 5x = 2\)

Resolução >> Resolução

  1.  
    \[\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 2x –
…
0

9.º Ano / Aplicando / Equações do 2.º grau

Sobre uma equação do 2.º grau

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 86 Ex. 6

Enunciado

Para que valores do parâmetro α a equação do segundo grau \[{x^2} + x + \alpha = 0\] possui duas soluções?

Resolução >> Resolução

Para que a equação \({x^2} + x + \alpha = 0\) possua duas soluções, o seu binómio discriminante tem de ser positivo.

Assim, …

0

9.º Ano / Aplicando / Equações do 2.º grau

Determina o binómio discriminante

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 86 Ex. 3

Enunciado

Para cada uma das equações, determina o binómio discriminante e diz quantas soluções tem.

  1. \({x^2} – 2x + 1 = 0\)
     
  2. \(2{x^2} – x – 1 = 0\)
     
  3. \({x^2} + 3x + 4 = 0\)
     
  4. \({a^2} – 7a – 18 = 0\)

Resolução >> Resolução

  1. \({x^2} –
…
0

9.º Ano / Aplicando / Equações do 2.º grau

Utilizando o completamento do quadrado

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 82 Ex. 4

Enunciado

Resolve as equações do 2.º grau, utilizando o completamento do quadrado.

  1. \({{x^2} – 6x + 5 = 0}\)
     
  2. \({{x^2} + 5x + 1 = 0}\)

Resolução >> Resolução

  1.  
    \[\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} – 6x + 5 = 0}& \Leftrightarrow &{{{\left( {x – 3} \right)}^2} – 9 + 5 = 0}\\{}&
…
0

9.º Ano / Aplicando / Equações do 2.º grau

A soma de uma constante com o quadrado de um polinómio de 1.º grau

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 82 Ex. 3

Enuncuado

Obtém, para cada alínea, uma expressão equivalente que seja a soma de uma constante com o quadrado de um polinómio de primeiro grau (eventualmente multiplicado por uma constante).

  1. \({x^2} + 4x + 2\)
     
  2. \({x^2} – 6x – 1\)
     
  3. \({x^2} + x + 1\)
     
  4. \(3{x^2} + 2x +
…
0

9.º Ano / Aplicando / Equações do 2.º grau

Equações

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 78 Tarefa 2

Enunciado

Resolve as seguintes equações:

  1. $3{x^2} – 7 = 0$
     
  2. $2\left( {{x^2} + x} \right) = x$
     
  3. $\frac{{13}}{4}{x^2} = \frac{{13}}{5}$
     
  4. $2{x^2} + 3 = 0$
     
  5. $\frac{4}{7}\left( {x – 2} \right)(x + 2) + x = \frac{{9 + 7x}}{7}$
     
  6. \(x = 3{x^2}\)
     
  7. \({4{x^2} – \frac{1}{4}x = 0}\)
     
  8. \({ –
…
0

9.º Ano / Aplicando / Equações do 2.º grau

Áreas e perímetros 2

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 78 Tarefa 1 Ex. 2

Enunciado

Na figura, sabe-se que:

  • [ACEF] é um quadrado;
  • [BCDG] é um quadrado;
  • \(\overline {AC} = x\) cm;
  • \(\overline {BC} = 8\) cm.
  1. Escreve uma expressão simplificada para o perímetro da região sombreada.
    Mostra como chegaste à tua resposta.
  2. Mostra que se \(x = 9\) cm, então a
…
0

9.º Ano / Aplicando / Equações do 2.º grau

Áreas e perímetros 1

Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 78 Tarefa 1 Ex. 1

Enunciado

Observa o trapézio retângulo da figura.

  1. Determina a área do trapézio, sabendo que \(x = 3\) cm.
  2. Escreve uma expressão simplificada, na variável x, que represente a área do trapézio. Apresenta os cálculos que efetuaste.
  3. Qual deve ser o valor de x para que a área
…
0

9.º Ano / Aplicando / Trigonometria

Um muro e uma escada

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 73 Ex. 2

Enunciado

Observa a figura.
O muro tem 5 m de altura e a escada tem 5,20 m de comprimento.

  1. Calcula:
  1. A distância do pé da escada ao muro.
    Escreve essa distância arredondada às décimas.
  2. A medida da amplitude, arredondada às unidades, do ângulo formado pela escada e pelo
…
0

9.º Ano / Aplicando / Trigonometria

A piscina que a mãe da Marta comprou para colocar no jardim

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 72 Ex. 1

Enunciado

Na Figura 1, está representado um esquema da piscina que a mãe da Marta comprou para colocar no jardim.
A Figura 2 representa um esquema da base da piscina.

Na Figura 1, [ABCDEFGHIJKL] é um prisma regular e \(\overline {BH} = 1,5\) m.
Na Figura …

0

9.º Ano / Aplicando / Trigonometria

Duas retas e uma circunferência

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 71 Ex. 12

Enunciado

Na figura, estão representadas as retas AD e CD e a circunferência de diâmetro [AC].
O ponto B pertence à circunferência e à reta AD.
Sabe-se que:

  • a reta CD é tangente à circunferência no ponto C;
  • \(C\widehat DA = 50^\circ \);
  • \(\overline
…
0

9.º Ano / Aplicando / Trigonometria

Um prisma triangular reto

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 70 Ex. 10

Enunciado

Na figura, está representado um prisma triangular reto [ABCDEF].
Sabe-se que:

  • o triângulo [ABC] é retângulo em A;
  • \(\overline {AC} = 2\) cm;
  • \(\overline {AE} = 6\) cm;
  • o volume do prisma é 42 cm3.
  1. Construiu-se um cubo com volume
…
0

9.º Ano / Aplicando / Trigonometria

Uma rampa de skate

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 70 Ex. 9

Enunciado

A figura representa um modelo geométrico de uma rampa de skate.
O modelo não está desenhado à escala.
Este modelo é um sólido que pode ser decomposto no cubo [ABCDEFIJ] e nos prismas triangulares retos [BHIFAG] e [CKJEDL], geometricamente iguais. …

0

9.º Ano / Aplicando / Trigonometria

Um triângulo escaleno e retângulo

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 69 Ex. 8

Enunciado

Relativamente à figura, que não está desenhada à escala, sabe-se que:

  • o triângulo [ABC] é escaleno e é retângulo em B;
  • os pontos E e P pertencem ao segmento de reta [AC];
  • o ponto D pertence ao segmento de reta [AB
…
0

9.º Ano / Aplicando / Trigonometria

Um retângulo inscrito numa circunferência

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 69 Ex. 7

Enunciado

Na figura, está representada uma circunferência de centro O, na qual está inscrito um retângulo [ABCD].
A figura não está desenhada à escala.
Sabe-se que:

  • \(B\widehat DA = 70^\circ \);
  • \(\overline {AB} = 4,35\) cm.
  1. Qual é a amplitude, em graus, do arco AB
…
0

9.º Ano / Aplicando / Trigonometria

Um paralelepípedo e uma pirâmide

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 68 Ex. 6

Enunciado

Na figura, estão representados um paralelepípedo [ABCDEFGH] e uma pirâmide [HDPC], sendo P um ponto de [AB].

  1. Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
    [A] As retas DP e BC são concorrentes.
    [B] As retas DP e BC são não complanares.
    [C]
…
0

9.º Ano / Aplicando / Trigonometria

Uma rampa na entrada de uma escola

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 68 Ex. 5

Enunciado

O acesso a uma das entradas da escola da Rita é feito por uma escada de dois degraus iguais, cada um deles com 10 cm de altura.
Com o objetivo de facilitar a entrada na escola a pessoas com mobilidade condicionada, foi construída uma rampa.
Para respeitar …

0

9.º Ano / Aplicando / Trigonometria

Um triângulo inscrito numa circunferência

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 66 Ex. 2

Enunciado

Na figura, está representada uma circunferência de centro no ponto O.
Os pontos A, B, C, P e R pertencem à circunferência.
Sabe-se que:

  • a circunferência tem raio 8;
  • \(\overline {BA} = \overline {BC} \);
  • [PR] é um diâmetro da circunferência;
…
0

9.º Ano / Aplicando / Trigonometria

Um triângulo isósceles

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 63 Ex. 20

Enunciado

Seja [ABC] um triângulo tal que \(\overline {AC} = 4\) e \(\overline {AB} = \overline {BC} = 6\).

Seja M o ponto médio de [AB].

Determina a medida da amplitude do ângulo ACM com aproximação às décimas de grau, percorrendo as seguintes etapas.…

0

9.º Ano / Aplicando / Trigonometria

A distância entre duas árvores

Trigonometria: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 63 Ex. 19

Enunciado

Observa a figura ao lado.

Calcula a distância, arredondada às décimas, entre as árvores B e C.

Resolução >> Resolução

Seja B’ a projeção ortogonal do ponto B sobre o segmento de reta [AC].

No triângulo retângulo [ABB’], vem:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{{\mathop{\rm sen}\nolimits} B\widehat AC …