A Casinha da Matemática Blog

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Dois insetos

Teorema de Pitágoras: Matematicamente Falando 8 - Pág. 50 Ex. 2

Enunciado

Um inseto parte do ponto M e percorre os segmentos [MA] e [AC], parando no ponto C.

Um outro inseto parte do ponto C e percorre os segmentos [CB] e [BM], parando no ponto M.

  1. Prova que os triângulos [AMC] e [CMB] são semelhantes.
  2. Determina:
    – a distância que separa os dois insetos;
    – a distância percorrida pelo primeiro inseto.

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O triângulo [ABC] é retângulo

Teorema de Pitágoras: Matematicamente Falando 8 - Pág. 48 Tarefa 3

Enunciado

O triângulo [ABC] é retângulo em C e [CD] é a altura do triângulo relativa à hipotenusa.

  1. Mostra que os triângulos [ABC] e [ACD] são semelhantes e que \[\frac{{\overline {AC} }}{{\overline {AB} }} = \frac{{\overline {AD} }}{{\overline {AC} }} = \frac{{\overline {CD} }}{{\overline {BC} }}\]
  2. Justifica que os triângulos [ABC] e [CDB] são semelhantes e que \[\frac{{\overline {BC} }}{{\overline {AB} }} = \frac{{\overline {BD} }}{{\overline {BC} }} = \frac{{\overline {CD} }}{{\overline {AC} }}\]

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Triângulo decomposto pela altura relativa à hipotenusa

Teorema de Pitágoras: Matematicamente Falando 8 - Pág. 50 Ex. 1

Enunciado

Considera a figura, onde está representado um triângulo, retângulo em T e decomposto pela altura referente à hipotenusa.

  1. Justifica que os triângulos [TRH] e [TIH] são semelhantes.
  2. Estabelece a igualdade entre os ângulos correspondentes dos triângulos [TRH] e [TIH].
  3. Escreve as relações entre os comprimentos dos lados correspondentes dos triângulos [TRH] e [TIH].
  4. Determina a altura do triângulo [TRI].

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A distância entre as árvores

Teorema de Pitágoras: Matematicamente Falando 8 - Pág. 47 Tarefa 2

Enunciado

Observa na figura o procedimento usado pela Marta para descobrir a distância entre as árvores que se encontram nos pontos A e B.

A medida do comprimento do seu passo é 80 cm.

  1. Justifica que os triângulos [ABC] e [ADE] são semelhantes.
  2. Qual é, em metros, a distância entre as árvores que se encontram nos pontos A e B?
    Explica a tua resposta.

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A distância que separa a Joana da árvore

Teorema de Pitágoras: Matematicamente Falando 8 - Pág. 47 Tarefa 1

Enunciado

A corda fixada nos pontos A e B e a corda fixada nos pontos C e D são paralelas.

Determina a distância que separa a Joana (ponto A) da árvore que está na outra margem do rio.
Explica a tua resposta.

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Um retângulo

Números reais: Matematicamente Falando 8 - Pág. 41 Ex. 10

Ununciado

Um retângulo tem de comprimento \(2\sqrt 3 + 2\) e de largura \(\sqrt 3 – 1\).

  1. Qual é a expressão simplificada que representa o perímetro do retângulo?
  2. Mostra que a área do retângulo é um número inteiro.

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Um retângulo tem de comprimento \(2\sqrt 3 + 2\) e de largura \(\sqrt 3 – 1\).

  1. Qual é a expressão simplificada que representa o perímetro do retângulo?
  2. Mostra que a área do retângulo é um número inteiro.
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Qual é o valor da expressão numérica?

Números reais: Matematicamente Falando 8 - Pág. 39 Ex. 16

Enunciado

Qual é o valor da expressão numérica \(2\sqrt 5 + 4\sqrt 5 – 5\sqrt 5 \)?

[A] \(\sqrt 5 \)        [B] \(\sqrt {10} \)        [C] \( – \sqrt 5 \)        [D] \(5\)

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Associa a cada expressão o resultado correto

Números reais: Matematicamente Falando 8 - Pág. 37 Ex. 30

Enunciado

Associa a cada expressão o resultado correto:

\(\sqrt 2 + \sqrt 2 \)  A     I  \(2\)
\(\sqrt 2 \times \sqrt 2 \)  B     II  \(\sqrt 2 \)
\(\frac{{10\sqrt 2 }}{5}\)  C     III  \(2\sqrt 2 \)
\(\sqrt 2 \left( {\sqrt 2 – 1} \right)\left( {\sqrt 2 + 1} \right)\)  D     IV  \(4\sqrt 2 \)
\(5\sqrt 2 – 3\sqrt 2 \)  E       
\({\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^2} – {\left( {\sqrt 2 – 1} \right)^2}\)  F       
\({\left( {\frac{{\sqrt 2
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Uma atleta treina de bicicleta

Números reais: Matematicamente Falando 8 - Pág. 33 Ex. 6

Enunciado

Uma atleta treina de bicicleta ao redor de uma pista com forma e as dimensões abaixo.

  1. Qual é a distância, arredondada às unidades, percorrida pela atleta ao fim de uma volta completa?
  2. A roda da bicicleta da atleta tem 35 cm de raio.
    Quantas voltas completas faz cada roda da bicicleta quando a atleta dá uma volta à pista?

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Quais são as afirmações verdadeiras?

Números reais: Matematicamente Falando 8 - Pág. 33 Ex. 5

Enunciado

Quais das seguintes afirmações são verdadeiras?

[A] O inverso de \( – 2\) é \(2\).

[B] O inverso de \(\sqrt {10} \) é \(\frac{1}{{\sqrt {10} }}\).

[C] O simétrico de \( – 2\) é \(2\).

[D] O simétrico de \(\sqrt {10} \) é \( – \frac{1}{{\sqrt {10} }}\).

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Calcula o valor exato

Números reais: Matematicamente Falando 8 - Pág. 33 Ex. 4

Ennciado

Calcula o valor exato de:

  1. \(\sqrt 3 \times \left( {1 + \frac{3}{{\sqrt 3 }}} \right)\)
  2. \({\left[ {{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}} \right]^2}\)
  3. \(\frac{{7\pi – 3\pi }}{{2\pi }} \times \frac{{{{\left( {6\pi } \right)}^2}}}{{2\pi }}\)

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É um número irracional ou racional?

Números reais: Matematicamente Falando 8 - Pág. 33 Ex. 3

Enunciado

Averigua se é um número irracional ou um número racional o valor de cada uma das seguintes expressões.

  1. \(\sqrt {12} – \left( {1 + \sqrt {12} } \right)\)
  2. \( – \sqrt {\frac{1}{9}} – 1 + \frac{4}{3} + \sqrt {17} \)
  3. \(\sqrt {\frac{9}{4}} + \left( {\frac{1}{2} – \sqrt 2 } \right)\left( {\frac{1}{2} + \sqrt 2 } \right)\)
  4. \(10\sqrt 5 – {\left( {5 + \sqrt 5 } \right)^2}\)

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Calcula o valor das expressões

Números reais: Matematicamente Falando 8 - Pág. 33 Ex. 1

Enunciado

Calcula o valor das expressões, tendo em atenção as propriedades das operações.

  1. \(2\sqrt 3 + 4\sqrt 3 – 5\sqrt 3 \)
  2. \({\left( {\sqrt 2 + 2} \right)^2}\)
  3. \(\frac{1}{3}\pi – \pi + 3\pi \)
  4. \(\left( {5 – \sqrt 5 } \right)\left( {5 + \sqrt 5 } \right)\)
  5. \({\left( {\sqrt 7 – 1} \right)^2}\)
  6. \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {7 – \sqrt 3 } \right)\)
  7. \(\sqrt 5 – \sqrt 6 + 2\sqrt 5 – 2\sqrt 6 \)
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Calcula o valor das seguintes expressões

Números reais: Matematicamente Falando 8 - Pág. 30 Tarefa 14 Ex. 2

Enunciado

Sabendo que as propriedades das operações e as regras de cálculo em \(\mathbb{Q}\) se mantêm válidas para os números reais, calcula o valor das seguintes expressões numéricas e identifica as propriedades usadas.

  1. \(3\pi + 5\pi \)
  2. \(4\sqrt 2 – 7\sqrt 2 \)
  3. \(\sqrt 3 \left( {1 + \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)\)
  4. \({\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^2}\)
  5. \(3\pi + 2\sqrt 5 – 3\sqrt 5 \)
  6. \({\left( {4\sqrt 3 } \right)^2}\)

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