Considere a função $f$
Funções seno, co-seno e tangente: Infinito 12 A - Parte 3 Pág. 54 Ex. 26
Considere a função $$f:x \to 2x – \operatorname{sen} x$$
- Estude a paridade da função $f$ e exprima $f(x + 2\pi )$ em função de $f(x)$.
Verifique que se pode estudar $f$ em $\left[ {0,\pi } \right]$ e obter toda a curva ${C_f}$, recorrendo a transformações adequadas. - Estude a variação de $f$ em $\left[ {0,\pi } \right]$.
- Mostre que $2x – 1 \leqslant f(x) \leqslant 2x + 1,\forall x \in \mathbb{R}$ e conjeture os limites de $f$ em $ + \infty $ e em $ – \infty $.
- Sejam ${d_1}$ e ${d_2}$ as retas de equação $y = 2x – 1$ e $y = 2x + 1$, respetivamente.
Determine os pontos comuns à curva e a ${d_1}$, e depois à curva e a ${d_2}$, indicando as equações das tangentes nesses pontos. - Estude a posição de ${C_f}$ em relação à tangente no ponto de abcissa 0.
- Trace um esboço do gráfico de $f$.
Considere a função $$f:x \to 2x – \operatorname{sen} x$$
- A função $f$ é ímpar, pois $$f( – x) = 2 \times ( – x) – \operatorname{sen} ( – x) = – 2x + \operatorname{sen} x = – f(x),\forall x \in R$$
Ora, $$f(x + 2\pi ) = 2\left( {x + 2\pi } \right) – \operatorname{sen} \left( {x + 2\pi } \right) = 4\pi + 2x – \operatorname{sen} x = f(x) + 4\pi ,\forall x \in \mathbb{R}$$
Como a função $f$ é ímpar, o gráfico em $\left[ { – \pi ,0} \right]$ é simétrico relativamente à origem do gráfico em $\left[ {0,\pi } \right]$. Basta, então representar $f$ em $\left[ {0,\pi } \right]$.Como $f(x + 2\pi ) = f(x) + 4\pi ,\forall x \in \mathbb{R}$, então o gráfico de $f$ nos intervalos $\left[ {\left( {2k – 1} \right)\pi ,\left( {2k + 1} \right)\pi } \right]$ pode obter-se do gráfico de $f$ em $\left[ { – \pi ,\pi } \right]$ por uma translação associada ao vetor $\overrightarrow v \left( {2k\pi ,4k\pi } \right)$.
- Ora,
$$\begin{array}{*{20}{l}}
{f'(x)}& = &{\left( {2x – \operatorname{sen} x} \right)’} \\
{}& = &{2 – \cos x}
\end{array}$$
Como $f'(x) > 0,\forall x \in \mathbb{R}$, a função é estritamente crescente no seu domínio e, consequentemente, também crescente em $\left[ {0,\pi } \right]$.
- Para todo o $x$ real, temos: $$\begin{array}{*{20}{c}}
{ – 1}& \leqslant &{\operatorname{sen} x}& \leqslant &1 \\
{ – 1}& \leqslant &{ – \operatorname{sen} x}& \leqslant &1 \\
{2x – 1}& \leqslant &{2x – \operatorname{sen} x}& \leqslant &{2x + 1}
\end{array}$$
Portanto, $2x – 1 \leqslant f(x) \leqslant 2x + 1,\forall x \in \mathbb{R}$.Como $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2x – 1} \right) = + \infty $ e $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2x + 1} \right) = + \infty $, então, pelo teorema das sucessões enquadradas, conclui-se que $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty $.
Como $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left( {2x – 1} \right) = – \infty $ e $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left( {2x + 1} \right) = – \infty $, então, pelo teorema das sucessões enquadradas, conclui-se que $\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f(x) = – \infty $.
- Ora, $$\begin{array}{*{20}{l}}
{f(x) = 2x – 1}& \Leftrightarrow &{2x – \operatorname{sen} x = 2x – 1} \\
{}& \Leftrightarrow &{\operatorname{sen} x = 1} \\
{}& \Leftrightarrow &{x = \frac{\pi }{2} + 2k\pi ,k \in \mathbb{Z}}
\end{array}$$
Portanto, os pontos comuns a ${C_f}$ e a ${d_1}$ são os pontos de coordenadas $$\left( {\frac{\pi }{2} + 2k\pi ,2\left( {\frac{\pi }{2} + 2k\pi } \right) – 1} \right) = \left( {\frac{\pi }{2} + 2k\pi ,\pi + 4k\pi – 1} \right),k \in \mathbb{Z}$$
Ora, $$\begin{array}{*{20}{l}}
{f(x) = 2x + 1}& \Leftrightarrow &{2x – \operatorname{sen} x = 2x + 1} \\
{}& \Leftrightarrow &{\operatorname{sen} x = – 1} \\
{}& \Leftrightarrow &{x = \frac{{3\pi }}{2} + 2k\pi ,k \in \mathbb{Z}}
\end{array}$$
Portanto, os pontos comuns a ${C_f}$ e a ${d_2}$ são os pontos de coordenadas $$\left( {\frac{{3\pi }}{2} + 2k\pi ,2\left( {\frac{{3\pi }}{2} + 2k\pi } \right) + 1} \right) = \left( {\frac{{3\pi }}{2} + 2k\pi ,3\pi + 4k\pi + 1} \right),k \in \mathbb{Z}$$
Como $$f’\left( {\frac{\pi }{2} + 2k\pi } \right) = 2 – \cos \left( {\frac{\pi }{2} + 2k\pi } \right) = 2,\forall k \in \mathbb{Z}$$ e $$f’\left( {\frac{{3\pi }}{2} + 2k\pi } \right) = 2 – \cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} + 2k\pi } \right) = 2,\forall k \in \mathbb{Z}$$ as retas tangentes a ${C_f}$ nesses pontos são, respetivamente, ${d_1}:y = 2x – 1$ e ${d_2}:y = 2x + 1$.
- O declive da reta tangente a ${C_f}$ no ponto de abcissa $0$ é ${m_0} = f'(0) = 2 – \cos 0 = 1$ e o ponto de tangência é a origem do referencial, pois $\left( {0,f(0)} \right) = \left( {0,0} \right)$.
Logo, $y = x$ é a equação da reta pedida.Como $f”(x) = \left( {2 – \cos x} \right)’ = \operatorname{sen} x,\forall x \in \mathbb{R}$, temos em $\left[ { – \pi ,\pi } \right]$:
$x$ $ – \pi $ $0$ $ + \pi $ $f'(x) = 2 – \cos x$ $+$ $+$ $+$ $+$ $+$ Variação de $f$ $ – 2\pi $ $ \nearrow $ $0$ $ \nearrow $ $2\pi $ $f”(x) = \operatorname{sen} x$ $0$ $-$ $0$ $+$ $0$ Sentido das concavidades de $f$ P.I. $ \cap $ P.I. $ \cup $ P.I. O gráfico de $f$ nas proximidades de $0$ está acima do gráfico de $y=x$, à direita de $0$, e abaixo, à esquerda de $0$, pois a concavidade do gráfico de $f$ está voltada para cima à direita de $0$ e voltada para baixo à esquerda.
- Segue um esboço do gráfico de $f$: