Função logística

Evolução de uma população

Pierre Francois Verhulst (1804-1849)

Suponha-se uma população de uma determinada espécie que vive, se reproduz e morre numa determinada região, sem que haja emigração ou imigração de indivíduos dessa espécie.

Em cada instante, designe-se por $P(t)$ o número de indivíduos dessa população.

Um primeiro aspecto que convém notar é que se vai representar por uma função real de variável real um número de indivíduos que é necessariamente inteiro. Isto é aceitável porque se pretende apenas uma aproximação do número de indivíduos; mesmo assim, deve-se restringir a aplicação do modelo a populações com muitos indivíduos.

Tendo também em mente que se trata de um grande número de indivíduos, pode supor-se ainda que há uma taxa de natalidade uniforme e uma taxa de mortalidade também uniforme. Isto quer dizer que o número de novos indivíduos nascidos por unidade de tempo e o número de mortes por unidade de tempo são proporcionais ao número de indivíduos existentes.

Para dar conta das situações em que há um limite máximo para a população que pode viver numa região, Verhulst introduziu em 1836 um modelo que considera que à medida que uma população se aproxima de um certo valor máximo, a taxa de crescimento da população (taxa de natalidade – taxa de mortalidade) se reduz.

Uma das funções que verificam o modelo logístico referido é

\[P(t)=\frac{M}{1+\frac{M-{{P}_{0}}}{{{P}_{0}}}\times {{e}^{-c\,t}}}\]

onde $c$ é uma constante positiva e $M$ é o número máximo de indivíduos suportado pela região.

Note-se que, se a taxa de crescimento da população é da ordem de $c$ quando $\frac{P}{M}$ é pequeno, à medida que $P$ se aproxima de M essa taxa de crescimento vai-se aproximando de zero.

No caso de a população inicial exceder M indivíduos, a taxa de crescimento torna-se negativa, o que leva a população a reduzir-se.

Deve-se notar que a fase inicial de um crescimento logístico partindo de um ${{P}_{0}}$ muito menor do que $M$ é muito parecida com um crescimento exponencial.

(Adaptado da Brochura Funções 12.º ano, páginas 79-82)

• Logistic function – Wikipedia

Relativamente às funções

\[\begin{matrix}
   P(t)=\frac{M}{1+\frac{M-{{P}_{0}}}{{{P}_{0}}}\times {{e}^{-c\,t}}} & {} & \text{e} & {} & Y(t)=\frac{a}{1+b\times {{e}^{^{-c\,t}}}}  \\
\end{matrix}\]

qual é a relação entre as constantes $M$, ${{P}_{0}}$, $a$ e $b$?

Variação menos restrita dos parâmetros $a$, $b$ e $c$