Considera a função f de proporcionalidade inversa
Proporcionalidade inversa e Funções algébricas: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 106 Ex. 4
Enunciado
Considera a função f de proporcionalidade inversa representada graficamente no referencial cartesiano da figura.
- Tendo em conta os dados da figura, determina o valor de b.
- Se \(a = 4\), indica a constante de proporcionalidade inversa e uma expressão algébrica da função f.
Resolução
Como as grandezas são inversamente proporcionais, então é constante o produto das medidas correspondentes dessas grandezas. Assim, tendo em consideração que \(a > 0\) e, por isso, \(a \ne 0\), temos:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{a \times b = 3a \times \left( {b – 1} \right)}& \Leftrightarrow &{ab = 3ab – 3a}\\{}& \Leftrightarrow &{2ab = 3a}\\{}& \Leftrightarrow &{b = \frac{{3a}}{{2a}}}\\{}& \Leftrightarrow &{b = \frac{3}{2}}\end{array}\]- Já vimos que \({b = \frac{3}{2}}\).
Logo, se \(a = 4\), então a constante de proporcionalidade inversa é \(k = 4 \times \frac{3}{2} = 6\) e a função f pode ser definida por \(f\left( x \right) = \frac{6}{x}\).
Abordar a questão por meio de uma tabela não vai simplificar os cálculos a efetuar.
No entanto, pode-se abordar a questão de outro ponto de vista, por forma a facilitar os cálculos:
Há dois pontos do gráfico com coordenadas identificadas.
Considerando esses pontos, reparamos que, da esquerda para a direita, a abcissa triplica. Então, a ordenada terá de passar à terça parte, para que o produto das coordenadas permaneça constante (pela definição de grandezas inversamente proporcionais).
Assim, vem:
\[\begin{array}{*{35}{l}} b-1=\frac{b}{3} & \Leftrightarrow & 3b-3=b \ {} & \Leftrightarrow & 2b=3 \ {} & \Leftrightarrow & b=\frac{3}{2} \ \end{array}\]
Poderia resolver por outra maneira? Por tabelas