Áreas e perímetros 2
Equações do 2.º grau: Matematicamente Falando 9 - Parte 2 Pág. 78 Tarefa 1 Ex. 2
Enunciado
Na figura, sabe-se que:
- [ACEF] é um quadrado;
- [BCDG] é um quadrado;
- \(\overline {AC} = x\) cm;
- \(\overline {BC} = 8\) cm.
- Escreve uma expressão simplificada para o perímetro da região sombreada.
Mostra como chegaste à tua resposta. - Mostra que se \(x = 9\) cm, então a área da parte sombreada é igual a 17 cm2.
- Escreve uma expressão simplificada para a área da região sombreada, na variável x.
- Determina o valor de x para qual a área sombreada é igual a 80 cm2.
Resolução
[ACEF] é um quadrado;- [BCDG] é um quadrado;
- \(\overline {AC} = x\) cm;
- \(\overline {BC} = 8\) cm.
- Apresenta-se seguidamente uma expressão para o perímetro da região sombreada:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{P\left( x \right)}& = &{\overline {AB} + \overline {BG} + \overline {GD} + \overline {DE} + \overline {EF} + \overline {FA} }\\{}& = &{\left( {x – 8} \right) + 8 + 8 + \left( {x – 8} \right) + x + x}\\{}& = &{4x}\end{array}\] - Se \(x = 9\) cm, então a área da parte sombreada é igual a 17 cm2:
\[A\left( 9 \right) = 2 \times \frac{{\overline {AF} + \overline {BG} }}{2} \times \overline {AB} = 2 \times \frac{{9 + 8}}{2} \times 1 = 17\] - Uma expressão simplificada para a área da região sombreada, na variável x, é:
\[\begin{array}{*{20}{l}}{A\left( x \right)}& = &{2 \times \frac{{x + 8}}{2} \times \left( {x – 8} \right)}\\{}& = &{\left( {x + 8} \right) \times \left( {x – 8} \right)}\\{}& = &{{x^2} – 64}\end{array}\] - A área sombreada é igual a 80 cm2 para \(x = 12\):
\[\begin{array}{*{20}{l}}{A\left( x \right) = 80}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} – 64 = 80}& \wedge &{x > 8}\end{array}}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} = 144}& \wedge &{x > 8}\end{array}}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x = – 12}& \vee &{x = 12}\end{array}} \right)}& \wedge &{x > 8}\end{array}}\\{}& \Leftrightarrow &{x = 12}\end{array}\]
bom