Áreas e perímetros 2

• [ACEF] é um quadrado;

• [BCDG] é um quadrado;

• \(\overline {AC} = x\) cm;

• \(\overline {BC} = 8\) cm.

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1. Apresenta-se seguidamente uma expressão para o perímetro da região sombreada:
   \[\begin{array}{*{20}{l}}{P\left( x \right)}& = &{\overline {AB} + \overline {BG} + \overline {GD} + \overline {DE} + \overline {EF} + \overline {FA} }\\{}& = &{\left( {x – 8} \right) + 8 + 8 + \left( {x – 8} \right) + x + x}\\{}& = &{4x}\end{array}\]
2. Se \(x = 9\) cm, então a área da parte sombreada é igual a 17 cm²:
   \[A\left( 9 \right) = 2 \times \frac{{\overline {AF} + \overline {BG} }}{2} \times \overline {AB} = 2 \times \frac{{9 + 8}}{2} \times 1 = 17\]
3. Uma expressão simplificada para a área da região sombreada, na variável x, é:
   \[\begin{array}{*{20}{l}}{A\left( x \right)}& = &{2 \times \frac{{x + 8}}{2} \times \left( {x – 8} \right)}\\{}& = &{\left( {x + 8} \right) \times \left( {x – 8} \right)}\\{}& = &{{x^2} – 64}\end{array}\]
4. A área sombreada é igual a 80 cm² para \(x = 12\):
   \[\begin{array}{*{20}{l}}{A\left( x \right) = 80}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} – 64 = 80}& \wedge &{x > 8}\end{array}}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} = 144}& \wedge &{x > 8}\end{array}}\\{}& \Leftrightarrow &{\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x = – 12}& \vee &{x = 12}\end{array}} \right)}& \wedge &{x > 8}\end{array}}\\{}& \Leftrightarrow &{x = 12}\end{array}\]